Câu hỏi:
17/06/2026 419Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 90^\circ ,\] BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.
Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)
ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành
Do đó \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \)
\( \Rightarrow 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + \overrightarrow {AD} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \) (do \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \))
\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \)
Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {IC} \) và \[\overrightarrow {ID} \] ngược hướng nhau
Lại có 9IC = 5ID nên \[9\overrightarrow {IC} = - 5\overrightarrow {ID} \] hay \[\overrightarrow {IC} = - \frac{5}{9}\overrightarrow {ID} \]
Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:
\(\overrightarrow {AC} - \left( { - \frac{5}{9}} \right)\overrightarrow {AD} = \left[ {1 - \left( { - \frac{5}{9}} \right)} \right]\overrightarrow {AI} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \left[ {1 + \frac{5}{9}} \right]\overrightarrow {AI} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \frac{{14}}{9}\overrightarrow {AI} \)
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9\overrightarrow {AE} + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9.\frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + 5\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6\left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\]
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6.3\overrightarrow {AG} \] (do \(3\overrightarrow {AG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \))
\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 18\overrightarrow {AG} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{9}{7}\overrightarrow {AG} \]
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AI} \) và \[\overrightarrow {AG} \] cùng phương
Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MC} \] bằng
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:
Câu 3:
Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 90^\circ ,\] BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.
Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {CM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CM} \] theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \[\overrightarrow {AD} .\]
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).
Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ \[\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} \] có độ dài ngắn nhất.
Câu 6:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK} ?\)
Câu 7:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).
Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.
Câu 8:
B. Tự luận
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)
Câu 9:
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và \[\widehat {CAB} = 60^\circ .\]
Lấy các điểm M, N thoả mãn \[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \] (x ≠ –1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.
Câu 10:
Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.
Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.
Câu 11:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \) là:
Câu 12:
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} \) bằng
Câu 13:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Chứng minh rằng BI = IJ = JD.
Câu 14:
Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.
Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.
Câu 15:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ \(\overrightarrow a \) = (1; 2), \(\overrightarrow b \) = (3; –4), \(\overrightarrow c \) = (–5; 3).
Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b + \overrightarrow c .\)
