Cho hàm số $y = f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và f(0)+f(1) = 0. Biết ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx = \frac{1}{2}{\int }_0^{1}f\text{'}\left(x\right)\mathrm{cos\pi }x dx = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ Tính ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số y =f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f(2) = -2;  ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx = 1$ Tính tích phân ${\int }_0^{4}f\text{'}\left(\sqrt{x}\right)dx$

Tìm $\int x\cos 2xdx$

Biết ${\int }_0^{2}2x\ln (x+1)dx = a\ln b$ với $a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ và b là số nguyên tố. Tính 6a+7b

Cho $I = {\int }_0^3\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx = \frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3$ với a, b, c là các số nguyên. giá trị của a+b+c bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên Rvà thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f\left(x\right)dx = 9$ Tính ${\int }_0^2\left[f(1-3x)+9\right]dx$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol $y = \frac{x^2}{12}$ và đường cong có phương trình $y = \sqrt{4-\frac{x^2}{4}}$(hình vẽ). Diện tích của hình phẳng (H) bằng

Tính tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\tan }^{2}xdx$

Tích phân ${\int }_0^2\frac{2}{2x+1}dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(0)=1 và $3{\int }_0^1\left[f\text{'}\left(x\right).{\left[f\left(x\right)\right]}^2+\frac{1}{9}\right]dx\le 2{\int }_0^1\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)dx$ Tính ${\int }_0^1{\left[f\left(x\right)\right]}^{3}dx$

Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn $2f\left(x\right) + 3f(1-x) = \sqrt{1-x^2}$ Tính $I = {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0; x = 1; y = 0 và $y = \sqrt{2x+1}$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo công thức

Tích phân ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{3x+1}}$ bằng

Cho hàm số $y = a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của A cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và 2 đường thẳng x=0; x=2 có diện tích bằng 28/5 (phần gạch chéo trong hình vẽ).Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và 2 đường thẳng x = 0; x=2 có diện tích bằng

Tích phân ${\int }_0^1\frac{dx}{2x+5}$ bằng

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xdx = a+b\sqrt{3}$ với a, b là các số hữu tỉ. Tính T = 2a+6b