Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f\left(x\right)-x.f^{\text{'}}\left(x\right).\ln x=2x^2.f^2\left(x\right),\forall x\in \left(1;+\infty \right)$ . Biết $f\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)$  và $f\left(e\right)=\frac{1}{e^2}$ . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x.f\left(x\right),y=\mathrm{0,}x=e,x=e^2$ .

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1;-2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 1 = 0 là

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w=\frac{z+3i-1}{z+3+i}$  là số thuần ảo. Xét các số phức $z_1,z_2\in S$  thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=2$ , giá trị lớn nhất của $P={\left|z_1-3i\right|}^2-{\left|z_2-3i\right|}^2$  bằng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z – (1 – 2i)| = 2 là

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Điểm cực tiểu của của hàm số đã cho là

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{2x+3}>\frac{1}{25}$  là

Cho hình chóp S.ABCcó đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng $a,SA=a\sqrt{3}$ . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

Hàm số $y=\frac{x+2022}{x+2023}$  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^{2x}+1& \text{ khi }x\ge 0\\ 4x+2& \text{ khi }x<0\end{array}\right.$ . Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng $F\left(1\right)+3F\left(-1\right)=a{e}^2+b$  (trong đó a,b là các số hữu tỉ). Khi đó a + b bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC/A’B’C’ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’, biết hai mặt phẳng (MBC) và (MB’C’) vuông góc với nhau. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

Tập xác định của hàm số $y={\left(\pi +1\right)}^x$  là

Có bao nhiêu số nguyên x  thỏa mãn

$\left[{\log }_3\left(x^2+1\right)-{\log }_3\left(x+31\right)\right]\left(32-2^{x-1}\right)\ge 0$?

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ , biết $u_5-u_1=20$ . Tìm công sai d  của cấp số cộng.