Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w=\frac{z+3i-1}{z+3+i}$  là số thuần ảo. Xét các số phức $z_1,z_2\in S$  thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=2$ , giá trị lớn nhất của $P={\left|z_1-3i\right|}^2-{\left|z_2-3i\right|}^2$  bằng

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Điểm cực tiểu của của hàm số đã cho là

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z – (1 – 2i)| = 2 là

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1;-2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 1 = 0 là

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{2x+3}>\frac{1}{25}$  là

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ , biết $u_5-u_1=20$ . Tìm công sai d  của cấp số cộng.

Tập xác định của hàm số $y={\left(\pi +1\right)}^x$  là

Hàm số $y=\frac{x+2022}{x+2023}$  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^{2x}+1& \text{ khi }x\ge 0\\ 4x+2& \text{ khi }x<0\end{array}\right.$ . Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng $F\left(1\right)+3F\left(-1\right)=a{e}^2+b$  (trong đó a,b là các số hữu tỉ). Khi đó a + b bằng

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng $a,SA=a\sqrt{3}$ . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

Có bao nhiêu số nguyên x  thỏa mãn

$\left[{\log }_3\left(x^2+1\right)-{\log }_3\left(x+31\right)\right]\left(32-2^{x-1}\right)\ge 0$?

Tìm số phức liên hợp của số phức $z=i\left(3i+1\right)$ .

Cho ${\text{log}}_{a}b=\mathrm{3,}{\text{\hspace{0.17em}log}}_{a}c=-4$ . Khi đó $P={\text{log}}_a\left(\frac{a^3\sqrt{c}}{b^2}\right)$  bằng bao nhiêu?

Cho mặt cầu (S) tâm O , bán kính R = 3. Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) bằng 1. Tính chu vi đường tròn (C).