Cho hàm số f xác định, đơn điệu giảm, có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $3{\left[f\left(x\right)\right]}^2=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[8{\left(f\left(t\right)\right)}^3+{\left(f^{\text{'}}\left(t\right)\right)}^3\right]\text{d}t+x,\forall x\in ℝ$. Tích phân $\underset{0}{\overset{12}{\int }}\left(12+f\left(x\right)\right)\text{d}x$ nhận giá trị trong khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$ có đồ thị như hình bên với $a,b,c\in ℝ$. Tính giá trị của biểu thức $T=a-3b+2c$.

Biết $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=4$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{5}{\int }}3f\left(x\right)\text{d}x$ bằng

Cho $x,y,z\in ℝ$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=2\\ x+y+z=2\end{array}\right.$ và hàm số $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+x\right)\ln 2$.

Đặt hàm số $g\left(x\right)=2{022}^{f\left(x\right)+x-\left(x-1+\sqrt{3}\right)\ln \left(x-1+\sqrt{3}\right)}-2{023}^{\left(x-1+\sqrt{3}\right)\ln \left(x-1+\sqrt{3}\right)-f\left(x\right)-x}$. Số nghiệm thực của phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Khi đó phương trình $f\left(x\right)+1=m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,AB =a, biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V=\frac{4a^3}{3}$. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và B'C'.

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{x}.e^{x^2},$ trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục hoành.

Nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(x-2\right)=1$ là

Hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước $a;a\sqrt{3};2a$ là:

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x}$ trên $\left(-\infty ;0\right)$ thỏa mãn $F\left(-2\right)=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho ${\log }_{a}b=3$, ${\log }_{a}c=-2$. Khi đó ${\log }_a\left(a^3{b}^2\sqrt{c}\right)$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x{\left(1-x\right)}^2{\left(3-x\right)}^3{\left(x-2\right)}^4$ với mọi $x\in ℝ$. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1) Diện tích của tam giác ABC bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $0<y<2023$ và $3^x+3x-6=9y+{\log }_3{y}^3?$