Cho các hàm số sau:

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?

*Phương pháp giải:

Dựa vào tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Khi đó:

Hàm số nghịch biến trên K ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K

Hàm số đồng biến trên K ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

Ghi nhớ: f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K.

Chú ý:

Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên dưới Ox trên khoảng K ⇒ f'(x) < 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) nghịch biến trên K.

Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên trên Ox trên khoảng K ⇒ f'(x) > 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) đồng biến trên K.

*Lời giải:

*Một số lý thuyết liên quan:

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

Chú ý:

• Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(x\ne -\frac{d}{c}\right)$ thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y' không xảy ra.

• Giả sử:

$y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c.$

+ Hàm số đồng biến trên R

$$\begin{gathered} \iff f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0;\forall x\in ℝ \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\\ c>0\end{array}\right.\end{array}\right.. \end{gathered}$$

+ Hàm số nghịch biến trên R

$$\begin{gathered} \iff f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0;\forall x\in ℝ \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\\ c<0\end{array}\right.\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có đáp án (P1) (Vận dụng)

Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (2024) chi tiết nhất