Biết ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^{-x}}dx = m$. Tính giá trị của ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^x}dx$

Cho hàm số $y = a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0; x=2 có diện tích bằng  28/5     (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=-1; x = 0 có diện tích bằng:

Biết $I = {\int }_1^5\frac{\sqrt{2x-1}}{2x+3\sqrt{2x-1}+1}dx = a+b\ln 2+c\ln \frac{3}{5}$. Khi đó, giá trị $P = a^2-ab+2c$

Cho hàm số $y = f\left(x\right) = a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành xung quanh trục hoành Ox.

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A(-1;0) và $C(m;\sqrt{m})$, với m>0. Biết rằng đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm m

Cho hàm số $f\left(x\right) = \tan x (2cotx- \sqrt{2}\cos x + {\cos }^{2}x)$ có nguyên hàm là F(x) và $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)= \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ . Giả sử $F\left(x\right) = ax + \sqrt{b}\cos x - \frac{\cos cx}{2} -d$ . Chọn phát biểu đúng.

Biết  ${\int }_0^1\frac{x^2-2}{x+1}dx = \frac{-1}{m} + n\ln 2$, với m, n là các số nguyên. Tính m + n

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 4x^3-\frac{1}{x^2}+3x$ và thỏa mãn 5F(1) + F(2) = 43.Tính F(2).

Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; x = 1 . Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một tam giác đều có cạnh là $\sqrt[4]{\ln (1+x)}$ . Giả sử thể tích V của vật thể có kết quả là $V =a\sqrt{b}(c\ln 2 - 1)$  với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng $S = a^2-ab+c$

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = ax + \frac{b}{x^2}$,biết rằng F(-1) = 1; F(1) = 4; f(1) = 0

Cho hàm số f(x)  liên tục trên R và thỏa mãn $f\left(x\right) + f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-x\right) = \frac{1}{3}\frac{\sin x}{\cos x (8{\cos }^{3}x +1)}$. Biết tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}f\left(x\right)dx$ được biểu diễn dưới dạng $I = \frac{a}{b}\ln \frac{c}{d}$  và các phân số là các phân số tối giản. Tính $S = a^3+ab-c+d$

Tính tích phân $I = {\int }_1^{2^{1000}}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$ , ta được kết quả

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = \cos x\sqrt{\sin x + 1}$

Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(5x-2)

Cho hàm số y = f(x)  là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1;1]  và thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx = 3$; ${\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}f\left(2x\right)dx = 10$ . Tính ${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^0\cos f\left(\sin x\right) dx$