Biết ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^{-x}}dx = m$. Tính giá trị của ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^x}dx$

Cho hàm số $y = a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0; x=2 có diện tích bằng  28/5     (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=-1; x = 0 có diện tích bằng:

Biết $I = {\int }_1^5\frac{\sqrt{2x-1}}{2x+3\sqrt{2x-1}+1}dx = a+b\ln 2+c\ln \frac{3}{5}$. Khi đó, giá trị $P = a^2-ab+2c$

Cho hàm số $y = f\left(x\right) = a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành xung quanh trục hoành Ox.

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = ax + \frac{b}{x^2}$,biết rằng F(-1) = 1; F(1) = 4; f(1) = 0

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Biết  ${\int }_0^1\frac{x^2-2}{x+1}dx = \frac{-1}{m} + n\ln 2$, với m, n là các số nguyên. Tính m + n

Cho hàm số $f\left(x\right) = \tan x (2cotx- \sqrt{2}\cos x + {\cos }^{2}x)$ có nguyên hàm là F(x) và $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)= \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ . Giả sử $F\left(x\right) = ax + \sqrt{b}\cos x - \frac{\cos cx}{2} -d$ . Chọn phát biểu đúng.

Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; x = 1 . Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một tam giác đều có cạnh là $\sqrt[4]{\ln (1+x)}$ . Giả sử thể tích V của vật thể có kết quả là $V =a\sqrt{b}(c\ln 2 - 1)$  với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng $S = a^2-ab+c$

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 4x^3-\frac{1}{x^2}+3x$ và thỏa mãn 5F(1) + F(2) = 43.Tính F(2).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A(-1;0) và $C(m;\sqrt{m})$, với m>0. Biết rằng đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm m

Cho hàm số f(x)  liên tục trên R và thỏa mãn $f\left(x\right) + f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-x\right) = \frac{1}{3}\frac{\sin x}{\cos x (8{\cos }^{3}x +1)}$. Biết tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}f\left(x\right)dx$ được biểu diễn dưới dạng $I = \frac{a}{b}\ln \frac{c}{d}$  và các phân số là các phân số tối giản. Tính $S = a^3+ab-c+d$

Tính tích phân $I = {\int }_1^{2^{1000}}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$ , ta được kết quả

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = \cos x\sqrt{\sin x + 1}$

Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(5x-2)

Cho a là số thực dương, tính tích phân $I = {\int }_{-1}^a\left|x\right|dx$ theo a