Biết  ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{1}{{\cos }^{4}x+\sin x\mathrm{co}{s}^{3}x}dx=a-\sqrt{b}+c\ln 2+d\ln (1+\sqrt{3)}$  với a,b,c,d là các số hữu tỉ. Giá trị của abcd bằng

Tích phân $\int x\ln (x+3)dx=a+b\ln 2+c\ln 5$ với a,b,c  là các số hữu tỷ. Giá trị của abc bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2f(x)+3f(1-x)=x$\sqrt{1-x}$   với mọi x$\in [0;1]$. Tích phân  ${\int }_0^{2}xf\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$ bằng

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{\tan x};y=0;x=0;x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.

Cho hai hàm số

y$=x^3+a{x}^2+bx+c(a,b,c\in R)$có đồ thị (C) và 

y=$=m{x}^2+nx+p(m,n,p\in \mathrm{ℝ})$có đồ thị (P)  như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=4-$\frac{1}{x^2}$(x>0) đường thẳng y=-1,đường thẳng y=1 và trục tung được diện tích như sau:  

 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn $xf\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)=f^2\left(x\right)-x,\forall x\in \mathrm{ℝ}$và f(2)=1 .Tích phân  bằng

Cho ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=2$. Khi đó ${\int }_1^4\frac{f(\sqrt{x)}}{\sqrt{x}}dx$ bằng

Cho hàm số  f(x) thỏa mãn f(x)f'(x)=1 với mọi

x$\in$R. Biết ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=a$ và f(1)=b, f(2)=c Tích phân  ${\int }_1^2\frac{x}{f\left(x\right)}dx$ bằng

Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;3]  thoả mãn f(0)=3, f(3)=8 và${\int }_0^3\frac{(f\text{'}{\left(x\right))}^2}{f\left(x\right)+1}dx=\frac{4}{3}$  Giá trị của f(2) bằng

Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol

y=${(x-3)}^2$ trục hoành và trục tung. Gọi k1,k2(k1>k2) lần lượt là hệ số góc của đường thẳng qua điểm A(0;9 và chia (H) thành ba hình mặt phẳng có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ bên). Giá trị của k1-k2 bằng

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tích phân ${\int }_{-3}^{5}f\left(x\right)dx$  bằng

Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai  mặt phẳng x=0 và x=4 , biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0<x<4) thì được thiết diện là nửa hình tròn bán kính $R=x\sqrt{4-x}$

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2x+x^2}$ , trục hoành và các đường thẳng x=0; x=1   Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích bằng

Giả sử F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)=4x-1. Đồ thị hàm số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là: