Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{\tan x};y=0;x=0;x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.

Tích phân $\int x\ln (x+3)dx=a+b\ln 2+c\ln 5$ với a,b,c  là các số hữu tỷ. Giá trị của abc bằng

Cho hai hàm số

y$=x^3+a{x}^2+bx+c(a,b,c\in R)$có đồ thị (C) và 

y=$=m{x}^2+nx+p(m,n,p\in \mathrm{ℝ})$có đồ thị (P)  như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;3]  thoả mãn f(0)=3, f(3)=8 và${\int }_0^3\frac{(f\text{'}{\left(x\right))}^2}{f\left(x\right)+1}dx=\frac{4}{3}$  Giá trị của f(2) bằng

 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn $xf\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)=f^2\left(x\right)-x,\forall x\in \mathrm{ℝ}$và f(2)=1 .Tích phân  bằng

Cho ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=2$. Khi đó ${\int }_1^4\frac{f(\sqrt{x)}}{\sqrt{x}}dx$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2f(x)+3f(1-x)=x$\sqrt{1-x}$   với mọi x$\in [0;1]$. Tích phân  ${\int }_0^{2}xf\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=4-$\frac{1}{x^2}$(x>0) đường thẳng y=-1,đường thẳng y=1 và trục tung được diện tích như sau:  

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol

y=${(x-3)}^2$ trục hoành và trục tung. Gọi k1,k2(k1>k2) lần lượt là hệ số góc của đường thẳng qua điểm A(0;9 và chia (H) thành ba hình mặt phẳng có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ bên). Giá trị của k1-k2 bằng

Cho hàm số  f(x) thỏa mãn f(x)f'(x)=1 với mọi

x$\in$R. Biết ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=a$ và f(1)=b, f(2)=c Tích phân  ${\int }_1^2\frac{x}{f\left(x\right)}dx$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}x\ln (2+x^2)dx=a\ln 3+b\ln 2+c$ với a,b,c là các số hữu tỷ. Giá trị của a+b+c bằng

Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai  mặt phẳng x=0 và x=4 , biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0<x<4) thì được thiết diện là nửa hình tròn bán kính $R=x\sqrt{4-x}$

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tích phân ${\int }_{-3}^{5}f\left(x\right)dx$  bằng

Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng

Giả sử F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)=4x-1. Đồ thị hàm số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là:    

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

y=$-x^2+2x+1,y=2x^2-4x+1$ là :