Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Giải Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Câu hỏi khởi động trang 74 Toán 12 Tập 1: Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q₁(0; – 1; 0), Q₂ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$, Q₃ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$ (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.

Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ tác dụng lên giá đỡ?

Lời giải:

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q₂ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$, Q₃ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$.

Suy ra

Suy ra

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\left(0;0;-12c\right)$ .

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}$ , trong đó $\overrightarrow{F}=\left(0;0;-360\right)$ là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

Vậy

Hoạt động 1 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$.

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}$ (m ∈ ℝ) theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

c) Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}$ (m ∈ ℝ).

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$ nên $\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}$.

Ta có $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$ nên $\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}$.

b)

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)+\left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\right)$

$=\left(x_1+x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1+z_2\right)\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)-\left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\right)$

$=\left(x_1-x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1-y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1-z_2\right)\overrightarrow{k}$

$m\overrightarrow{u}=m\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)=m{x}_1\overrightarrow{i}+m{y}_1\overrightarrow{j}+m{z}_1\overrightarrow{k}$ (m ∈ ℝ).

c) Ta có $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x_1+x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1+z_2\right)\overrightarrow{k}$ .

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ là (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).

Ta có $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(x_1-x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1-y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1-z_2\right)\overrightarrow{k}$ .

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ là (x₁ – x₂; y₁ – y₂; z₁ – z₂).

Ta có $m\overrightarrow{u}=m{x}_1\overrightarrow{i}+m{y}_1\overrightarrow{j}+m{z}_1\overrightarrow{k}$ .

Do đó, tọa độ của vectơ $m\overrightarrow{u}$ là (mx₁; my₁; mz₁).

Luyện tập 1 trang 75 Toán 12 Tập 1:

a) Cho $\overrightarrow{u}=\left(-2;0;1\right),\overrightarrow{v}=\left(0;6;-2\right),\overrightarrow{w}=\left(-2;3;2\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-4\overrightarrow{w}$.

b) Cho ba điểm A(– 1; – 3; – 2), B(2; 3; 4), C(3; 5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có $2\overrightarrow{v}=\left(0;12;-4\right),4\overrightarrow{w}=\left(-8;12;8\right)$ .

Do đó, $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ = (– 2 + 0; 0 + 12; 1 + (– 4)) = (– 2; 12; – 3).

Suy ra $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-4\overrightarrow{w}$ = (– 2 – (– 8); 12 – 12; – 3 – 8).

Vậy $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-4\overrightarrow{w}$ = (6; 0; – 11).

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2 – (– 1); 3 – (– 3); 4 – (– 2)) = (3; 6; 6),

$\overrightarrow{AC}$ = (3 – (– 1); 5 – (– 3); 6 – (– 2)) = (4; 8; 8).

Ta có Từ đó suy ra $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Suy ra hai đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau, mà AB ∩ AC = A.

Vậy hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hoạt động 2 trang 75 Toán 12 Tập 1:

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Gọi M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

- Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$.

- Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B).

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.

- Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$.

- Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Lời giải:

a)

- Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O ta có: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$.

- Ta có A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) nên $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A; z_A) và $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B; z_B).

Khi đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ = (x_A + x_B; y_A + y_B; z_A + z_B).

Suy ra

Do đó,

b)

- Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$.

- Ta có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Suy ra $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A; z_A), $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B; z_B), $\overrightarrow{OC}$ = (x_C; y_C; z_C).

Khi đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ = (x_A + x_B + x_C; y_A + y_B + y_C; z_A + z_B + z_C).

Suy ra

Do đó,

Luyện tập 2 trang 76 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;4\right),\overrightarrow{AG}=\left(1;3;-1\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;4\right)\ne k\overrightarrow{AG}=\left(k;3k;-k\right)$ ới mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ à $\overrightarrow{AG}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có

Suy ra x_C = 3 – 1 = 2, y_C = 6 + 1 = 7, z_C = 0 – 6 = – 6.

Vậy C(2; 7; – 6).

Hoạt động 3 trang 76 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$.

Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ và tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$.

Do đó, $\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}$.

Ta có $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)\cdot \left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\right)$

Mà ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{i}=0$ (do là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).

Do đó, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$.

Luyện tập 3 trang 77 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;0;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(1;1;1\right)$.

Nhận thấy (– 1) ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = – 1 + 1 = 0, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Hoạt động 4 trang 79 Toán 12 Tập 1:

a) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C'(1; 1; 1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

b) Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$ không cùng phương.

Xét vectơ $\overrightarrow{w}=\left(y_1{z}_2-y_2{z}_1;z_1{x}_2-z_2{x}_1;x_1{y}_2-x_2{y}_1\right)$.

- Tính $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}$.

- Vectơ $\overrightarrow{w}$ có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay không?

Lời giải:

a)

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{AD}=\left(0;1;0\right)$.

Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C), ta có $\overrightarrow{DC}=$(x_C; y_C – 1; z_C).

Vì là ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ .

Suy ra Do đó, C(1; 1; 0).

Ta có $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\left(0;0;1\right)$.

Ta thấy

Vậy vectơ $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

b)

- Ta có:

= y₁z₂x₁ – y₂z₁x₁ + z₁x₂y₁ – z₂x₁y₁ + x₁y₂z₁ – x₂y₁z₁

= (y₁z₂x₁ – z₂x₁y₁) + (x₁y₂z₁ – y₂z₁x₁) + (z₁x₂y₁ – x₂y₁z₁) = 0;

= y₁z₂x₂ – y₂z₁x₂ + z₁x₂y₂ – z₂x₁y₂ + x₁y₂z₂ – x₂y₁z₂

= (y₁z₂x₂ – x₂y₁z₂) + (x₁y₂z₂ – z₂z₁y₂) + (z₁x₂y₂ – y₂z₁x₂) = 0.

- Vì $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=0,\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}=0$ nên vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Luyện tập 4 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;0;-3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(0;0;3\right)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

Ta có

Chọn $\overrightarrow{w}$ = (0; – 3; 0).

Vậy vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Bài tập

Bài 1 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;3;-2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(3;1;-1\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ là:

A. (1; – 2; 1).

B. (5; 4; – 3).

C. (– 1; 2; – 1).

D. (– 1; 2; – 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (2 – 3; 3 – 1; – 2 – (– 1)). Do đó $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (– 1; 2; – 1).

Bài 2 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(0;1;1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-1;1;0\right)$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng:

A. 60°.

B. 120°.

C. 150°.

D. 30°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có

Suy ra $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$.

Bài 3 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-1;2;3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(3;1;-2\right),\overrightarrow{c}=\left(4;2;-3\right)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{v}$ sao cho $\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ .

Lời giải:

a) Ta có $2\overrightarrow{a}=\left(-2;4;6\right)$, do đó $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (– 2 + 3; 4 + 1; 6 + (– 2)) = (1; 5; 4).

Lại có $3\overrightarrow{c}=\left(12;6;-9\right)$, do đó $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$ = (1 – 12; 5 – 6; 4 – (– 9)).

Vậy $\overrightarrow{u}$ = (– 11; – 1; 13).

b) Ta có $\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$, suy ra $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$= (– 1 + 4; 2 + 2; 3 + (– 3)) = (3; 4; 0).

Mà $2\overrightarrow{b}=\left(6;2;-4\right)$, do đó $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}$ = (3 – 6; 4 – 2; 0 – (– 4)).

Vậy $\overrightarrow{v}$ = (– 3; 2; 4).

Bài 4 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;-2;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;1;3\right)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{c}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có

Chọn $\overrightarrow{c}=\left(-7;-4;6\right)$ , ta có vectơ vectơ $\overrightarrow{c}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Bài 5 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(3;2;-1\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;1;2\right)$. Tính côsin của góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Ta có

Bài 6 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(– 2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; – 3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính $\cos \widehat{BAC}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(2;-1;-3\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)\ne k\overrightarrow{AC}=\left(2k;-k;-3k\right)$ với mọi k ∈ ℝ, do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-4;2;-8\right)$.

Suy ra

Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = $\sqrt{70}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}$.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{-2+4+0}{3}=\frac{2}{3}$; $y_G=\frac{3+0+2}{3}=\frac{5}{3};z_G=\frac{0+5+\left(-3\right)}{3}=\frac{2}{3}$ .

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$ .

d) Ta có

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau nên $\widehat{BAC}=90°$. Vậy $\cos \widehat{BAC}$ = 0.

Bài 7 trang 81 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; – 1; 1), C'(4; 5; – 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)$ , $\overrightarrow{AD}=\left(0;-1;0\right)$,

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành, do đó

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\left(1+0;1+\left(-1\right);1+0\right)=\left(1;0;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$ .

Ta có

Chọn $\overrightarrow{a}=\left(2;0;-2\right)$, vectơ $\overrightarrow{a}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$.

b) Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(3;5;-6\right)$, $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Chọn $\overrightarrow{b}=\left(-17;9;-1\right)$, vectơ $\overrightarrow{b}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Lời giải:

a) Ta có 18 in = 45,72 cm = 0,4572 m.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đó, GA = GB = GC = 0,4572 m.

Theo bài ra ta có OA = OB = OC = L nên OG ⊥ (ABC) và

Do đó,

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho: $\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{OA};\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{OB};\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{OC}$ .

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=c\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$.

Theo quy tắc ba điểm ta có

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{OG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{OG}$

(do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ ).

Do đó, $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=3c\overrightarrow{OG}$.

Mặt khác ta lại có $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$, với $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 24 N nên

Từ đó suy ra

Tam giác OAG vuông tại G (do OG ⊥ (ABC)) nên ta suy ra

$OG=\sqrt{O{A}^2-G{A}^2}=\sqrt{L^2-0,{4572}^2}$ (m) với L > 0,4572.

Do đó,

Khi đó,

Vậy $F=F\left(L\right)=\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ với L > 0,4572.

b) Xét hàm số $F=F\left(L\right)=\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ với L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Tập xác định: D = (0,4572; + ∞).

+ Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Do đó, đường thẳng F = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó, đường thẳng L = 0,4572 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Đạo hàm $F^{\text{'}}\left(L\right)=\frac{-8\cdot 0,{4572}^2}{\left(L^2-0,{4572}^2\right)\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ < 0 với mọi L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,4572; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới đây:

c) Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 10 N.

Với F(L) = 10, ta có $\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}=10$ . Từ đó suy ra

$5\sqrt{L^2-0,{4572}^2}=4L$

⇔ 25L² – 5,255796 = 16L²

⇒ L = 0,762 ∈ (0,4572; + ∞).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là L = 0,762 m = 76,2 cm = 30 in.