Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến P trong đồ thị có trọng số ở Hình 18

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Bài toán tìm đường đi ngắn nhất

Bài 4 trang 66 Chuyên đề Toán 11: Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến P trong đồ thị có trọng số ở Hình 18.

Lời giải:

– Gán nhãn cho A bằng 0 (tức là, n_A = 0), các đỉnh khác bằng ∞. Khoanh tròn đỉnh A.

– Tại các đỉnh kề với đỉnh A, gồm M, N, B, ta có:

⦁ n_M = n_A + w_AM = 0 + 9 = 9.Vì 9 < ∞ nên ta đổi nhãn của M thành 9.

⦁ n_N = n_A + w_AN = 0 + 5 = 5.Vì 5 < ∞ nên ta đổi nhãn của N thành 5.

⦁ n_B = n_A + w_AB = 0 + 3 = 3.Vì 3 < ∞ nên ta đổi nhãn của B thành 3.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là B nên ta khoanh tròn đỉnh B (đỉnh gần A nhất, chỉ tính các đỉnh khác A).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh B gồm M, N, ta có:

⦁ n_M = n_B + w_BM = 3 + 4 = 7.Vì 7 < 9 (9 là nhãn hiện tại của M) nên ta đổi nhãn của M thành 7.

⦁ n_N = n_B + w_BN = 3 + 10 = 13.Vì 13 > 5 (5 là nhãn hiện tại của N) nên ta giữ nguyên nhãn của N là 5.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là N nên ta khoanh tròn đỉnh N (đỉnh gần A thứ hai).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh N gồm M, C, P, ta có:

⦁ n_M = n_N + w_NM = 5 + 2 = 7.Vì 7 cũng là nhãn hiện tại của M nên ta giữ nguyên nhãn của M là 7.

⦁ n_C = n_N + w_NC = 5 + 6 = 11.Vì 11 < ∞ nên ta đổi nhãn của C thành 11.

⦁ n_P = n_N + w_NP = 5 + 12 = 17.Vì 17 < ∞ nên ta đổi nhãn của P thành 17.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là M nên ta khoanh tròn đỉnh M (đỉnh gần A thứ ba).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh M gồm D, P, ta có:

⦁ n_D = n_M + w_MD = 7 + 10 = 17.Vì 17 < ∞ nên ta đổi nhãn của D thành 17.

⦁ n_P = n_M + w_MP = 7 + 11 = 18.Vì 18 > 17 (17 là nhãn hiện tại của P) nên ta giữ nguyên nhãn của P là 17.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là C nên ta khoanh tròn đỉnh C (đỉnh gần A thứ tư).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh C chỉ có đỉnh P, ta có:

n_P = n_C + w_CP = 11 + 5 = 16.Vì 16 < 17 (17 là nhãn hiện tại của P) nên ta đổi nhãn của P thành 16.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là đỉnh P nên ta khoanh tròn đỉnh P (đỉnh gần A thứ năm).

– Nhìn lại các bước trên, ta thấy:

n_P = 16 = n_C + w_CP

= n_N + w_NC + w_CP

= n_A + w_AN + w_NC + w_CP

= w_AN + w_NC + w_CP

= l_ANCP.

Vậy ANCP là đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến P, với độ dài bằng 16.