Đáp án đúng là: B

Ta có: \(A_n^2 - C_n^2 = 10\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{(n - 2)...1}} - \frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{2.(n - 2)...1}} = 10\)

\( \Leftrightarrow \) n(n – 1) – \(\frac{1}{2}\) n(n – 1) = 10

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{2}\)n(n – 1) = 10 \( \Leftrightarrow \) n² – n – 20 = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\,\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn

Nhị thức \({\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^n}\)

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x², b = \( - \frac{1}{x}\) vào trong công thức ta có

\(C_5^k\)(x²)^{5 – k} .\({\left( { - \frac{1}{x}} \right)^k}\) = ( –1)^k\(C_5^k\)(x)^{10 – 3k}

Số hạng cần tìm chứa x⁴  nên ta có 10 – 3k = 4

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: ( –1)²\[C_5^2\] = 10

Đáp án đúng là: B

Đi từ thành phố A đến thành phố D ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1. Đi từ thành phố A đến thành phố B rồi đến thành phố D

Ta có: đi là từ thành phố A đến thành phố B có 3 cách, đi là từ thành phố B đến thành phố D có 2 cách

Vậy trường hợp 1 có 3.2 = 6 cách

Trường hợp 2. Đi từ thành phố A đến thành phố C rồi đến thành phố D

Ta có: đi là từ thành phố A đến thành phố C có 2 cách ,đi là từ thành phố C đến thành phố D có 3 cách

Vậy trường hợp 2 có 2.3 = 6 cách

Để đi từ thành phố A đến thành phố D ta có 6 + 6 = 12 cách.

Đáp án đúng là: C

Gọi số cần lập \(\overline {abc} \), a ≠ 0.

Trường hợp 1: c = 1

Số a, b được lập từ các cặp số sau: {2; 3}; {3; 5}. Mỗi cặp lập được 2 số nên có 2.2 = 4 số

Trường hợp 2: c = 3

Số a, b được lập từ các cặp số sau: {1; 2}; {1; 5}; {2; 4}; {4; 5}. Mỗi cặp số lập được 2 số nên có 4.2 = 8 số

Trường hợp 3: c = 5

Số a, b được lập từ các cặp số sau: {1; 3}; {3; 4}. Mỗi cặp số lập được 2 số nên có 2.2 = 4 số

Số các số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 là: 3 + 8 + 4 = 15 (số)

Đáp án đúng là: A

Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau:

Công đoạn 1, Chọn quả cầu xanh: 7 cách chọn (Vì cầu xanh được chọn tuỳ ý từ 1 đến 7)

Công đoạn 2, Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn (Vì số đánh trên cầu vàng không được chọn lại số đã đánh trên quả cầu xanh đã chọn)

Công đoạn 3, Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn (Vì số trên quả cầu đỏ chọn không được chọn lại các số mà quả cầu xanh và quả cầu vàng đã chọn)

Tổng kết, số cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số là 7.7.8 = 392 cách chọn

Đáp án đúng là: D

chọn học sinh nam có 15 cách

chọn học sinh nữ có 25 cách

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân có 15.25 = 375 (cách chọn)

Đáp án đúng là: D

Trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng.

Vậy trong khai triển nhị thức (x + 2y)³ có 4 số hạng.

Đáp án đúng là: D

Vì chọn ngẫu nhiên 4 viên bi và có 2 bi xanh nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1: chọn được 2 bi xanh, 2 bi đỏ và 0 bi trắng

Số cách chọn là: \(C_6^2.C_7^2.C_5^0 = 315\)

Trường hợp 2: Chọn được 2 bi xanh, 2 bi trắng, 0 bi đỏ

Số cách chọn là: \(C_6^2.C_7^0.C_5^2 = 150\)

Trường hợp 3: Chọn được 2 bi xanh, 1 bi trắng, 1 bi đỏ

Số cách chọn là: \(C_6^2.C_7^1.C_5^1 = 525\)

Áp dụng quy tắc cộng ta có: 315 + 150 + 525 = 990

Đáp án đúng là: A

Cứ hai đỉnh của đa giác n (n ≥ 3, n \( \in \) ℕ) đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác và đường chéo).

Khi đó số đường chéo là: \(C_n^2 - n\)

Theo giả thiết ta có: \(C_n^2 - n = 44 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} - n = 44\)

\( \Leftrightarrow \) n(n – 1) – 2n = 88

\( \Leftrightarrow \)n = 11 hoặc n = – 8.

Kết hợp với điều kiện n = 11 thoả mãn.

Đáp án đúng là: B

Vì chọn ra 4 học sinh trong đó có ít nhất hai nữ ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1: Chọn được 2 nữ và 2 nam

Số cách chọn là: \(C_7^2.C_6^2\) = 315

Trường hợp 2: Chọn được 3 nữ và 1 nam

Số cách chọn là: \(C_7^3.C_6^1\) = 210

Trường hợp 3: Chọn được 4 nữ và 0 nam

Số cách chọn là: \(C_7^4.C_6^0\) = 35

Áp dụng quy tắc cộng ta có: 315 + 210 + 35 = 560 cách.

Đáp án đúng là: D

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x², b = – 2x vào trong công thức ta có

\(C_5^k\)(x²)^{5 – k} .(– 2x)^k = (– 2)^k\(C_5^k\) (x)^{10 – k}

Số hạng cần tìm chứa x⁶ nên ta có 10 – k = 6

Do đó k = 4 thoả mãn bài toán

Đáp án đúng là: B

Điều kiện n ≥ 3, n \( \in \)ℕ.

\[A_n^3 = 56n\]\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 56n\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...1}}{{(n - 3)...1}} = 56n\]

\( \Leftrightarrow \) n(n – 1)(n – 2) = 56n

\( \Leftrightarrow \) n² – 3n – 54 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 9\\n = - 6\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện n = 9 thoả mãn bài toán

Giá trị của biểu thức P = \(3n + C_{n + 2}^4\) = 3.9 + \(C_{11}^4\) = 357.

Đáp án đúng là: C

Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.

Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).

Đáp án đúng là: A

ĐK: n ≥ 3; n \( \in \) ℕ.

Ta có: \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)

\( \Leftrightarrow \)n(n – 1)(n – 2) + 2n(n – 1) = 100 \( \Leftrightarrow \)n³ – n² – 100 = 0\( \Leftrightarrow \)n = 5

Khi đó: \({\left( {1 - 3x} \right)^n} = {\left( {1 - 3x} \right)^5}\)

Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n - k}b^k

Thay a = 1 , b = – 3x vào công thức ta có

\(C_5^k\)1^5-k (– 3x)^k = – 3^k\(C_5^k\)x^k

Cần tìm hệ số của x⁵ nên ta có k = 5

Hệ số cần tìm là : – 3⁵\(C_5^5\) = – 243.

Đáp án đúng là: B

Gọi số có ba chữ số cần tìm là \[\overline {abc} \], với a ≠ 0

Trường hợp 1: c = 0

Chọn số c có 1cách

Chọn số a có 6 cách (vì a ≠ 0 nên a có thể chọn một trong 6 số là 1; 2; 3; 4; 5; 6)

Chọn số b có 5 cách (vì b ≠ a, b ≠ c nên b còn 5 cách chọn)

Vậy có 6.5.1 = 30 số

Trường hợp 2: c ≠ 0

Chọn c có 3 cách chọn (vì số \[\overline {abc} \] là số chẵn nên c có thể chọn một trong 3 số là 2; 4; 6)

Chọn số a có 5 cách chọn (vì a ≠ 0 và a ≠ c nên a có 5 cách chọn)

Chọn số b có 5 cách chọn(vì b ≠ a, b ≠ c nên b còn 5 cách chọn)

Vậy có 5.5.3 = 75 số

Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên là: 75 + 30 = 105.

Đáp án đúng là: D

Sách bạn Dũng có thể lấy ra thuộc hai loại: Truyện tranh hoặc tiểu thuyết.

Truyện tranh: 9 quyển

Tiểu thuyết: 6 quyển

Số cách Dũng lấy ra một quyển là: 9 + 6 = 15 (cách).

Đáp án đúng là: C

Ta có hệ số của x³ có khai triển (1 + x)⁵ là

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = x vào trong công thức ta có \(C_5^k\)1^{5 – k} .(x)^k = \(C_5^k\)1^{5 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ \( \Rightarrow \) k = 3

Hệ số của x³ trong khai triển (1 + x)⁵ là \(C_5^3\).1³ = 10.

Ta có hệ số của y³ có khai triển (1 + y)⁶ là

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = y vào trong công thức ta có \(C_5^k\)1^{5 – k} .(y)^k = \(C_5^k\)1^{5 – k} .(y)^k

Vì tìm hệ số của y³ nên ta có y^k = y³ \( \Rightarrow \) k = 3

Hệ số của y³ trong khai triển (1 + y)⁵ là \(C_5^3\).1³ = 10

Hệ số của x³y³ trong khai triển nhị thức (1 + x)⁵(1 + y)⁵ là: 10.10 = 100.

Đáp án đúng là: D

Gọi số cần lập \(\overline {abcd} \), a ≠ 0.

chọn số d có 4 cách chọn (Vì \(\overline {abcd} \) là số lẻ nên d chỉ có thể chọn một trong 4 số 1; 3; 5; 7)

chọn số a có 6 cách chọn (Vì a ≠ 0; a ≠ d nên a không được chọn số 0 và số d đã chọn)

chọn số b có 6 cách chọn (Vì b ≠ a; b ≠ d nên b không được chọn lại số a, d đã chọn)

chọn số c có 5 cách chọn (Vì c ≠ a; c ≠ b; c ≠ d nên c không được chọn lại số a, b, d đã chọn)

áp dụng quy tắc nhân ta có số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là: 4.6.6.5 = 720.

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x, b = – 2y vào trong công thức ta có

\(C_2^k\)(x)^{4 – k} .(– 2y)^k = (– 2)^k\(C_2^k\) (x)^{4 – k} .(y)^k

Số hạng cần tìm chứa x²y² nên ta có x^{4 – k}y^k = x²y²

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (– 2)²\(C_4^2\) = 24.

Đáp án đúng là: C

Ta có \[{\left( {x + \frac{8}{{{x^2}}}} \right)^5}\]

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x, b = \(\frac{8}{{{x^2}}}\)  vào trong công thức ta có

\(C_5^k\)(x)^{5 – k} \({\left( {\frac{8}{{{x^2}}}} \right)^k}\)= 8^k\(C_5^k\)(x)^{5 – k} \({\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\)= 8^k\(C_5^k\) x^{5 - 3k}

Số hạng cần tìm chứa x²  nên ta có 5 – 3k = 2

Do đó k = 1 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (8)¹\(C_5^1\) = 40.

Vậy số hạn cần tìm là 40x².

Đáp án đúng là: B

Khai triển nhị thức

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 2x², b = \(\frac{1}{x}\)  vào trong công thức ta có

\(C_n^k\)(2x²)^{n – k} \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}\)= (2)^n-k\(C_n^k\)(x)^{2n –3k}

Vì hệ số của số hạng chứa x³ là \({2^2}C_n^1\) nên ta có k = 1

Số hạng cần tìm chứa x³ nên ta có 2n – 3.1 = 3

Vậy n = 3 thoả mãn bài toán

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = – 3x vào trong công thức ta có

\(C_n^k\)(1)^{n – k} .(– 3x)^k = (– 3)^k(1)^n-k\(C_n^k\)(x)^k

Số hạng cần tìm chứa x³ nên ta có k = 3

Vậy k = 3 thoả mãn bài toán

Vì hệ số chứa x³ bằng – 270 nên

(– 3)³(1)^n-3\(C_n^3\) = – 270 \( \Leftrightarrow \) \[C_n^3 = 10\]

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!(n - 3)!}} = \frac{{n(n - 1)(n - 2)\left( {n - 3} \right)...1}}{{6(n - 3)\left( {n - 4} \right)...1}} = 10\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 10\) \( \Leftrightarrow \) n³ – 3n² + 2n – 60 = 0 \( \Leftrightarrow \) (n – 5)(n² + 2n + 12) = 0\( \Leftrightarrow n = 5\)

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn bài toán

Đáp án đúng là: D

Giả sử mỗi số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng \(\overline {abcdef} \).

Ta thấy các chữ số 3, 4, 5 luôn đứng cạnh nhau và chữ số 4 đứng giữa hai chữ số còn lại.

Trường hợp 1: b = 4 vậy a và c phải bằng 3 hoặc 5

Chọn d có 7 cách chọn(vì d có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5)

Chọn e có 6 cách chọn(vì e có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số d đã chọn)

Chọn f có 5 cách chọn(vì f có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số d, e đã chọn)

Vậy có 2.7.6.5 = 420 số

Trường hợp 2: c bằng 4 vậy b và d phải bằng 3 hoặc 5

Chọn a có 6 cách (vì a có thể chọn một trong các số từ 1 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5)

Chọn e có 6 cách (vì e có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số a đã chọn)

Chọn f có 5 cách (vì f có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số a, e đã chọn)

Vậy có 6.2.6.5 = 360 số

Trường hợp 3: d bằng 4 vậy c và e phải bằng 3 hoặc 5

Chọn a có 6 cách (vì a có thể chọn một trong các số từ 1 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5)

Chọn b có 6 cách (vì b có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số a đã chọn)

Chọn f có 5 cách (vì f có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số a, e đã chọn)

Vậy có 6.2.6.5 = 360 số

Trường hợp 4: e bằng 4 vậy d và f phải bằng 3 hoặc 5

Chọn a có 6 cách (vì a có thể chọn một trong các số từ 1 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5)

Chọn b có 6 cách (vì b có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số a đã chọn)

Chọn c có 5 cách (vì c có thể chọn một trong các số từ 0 đến 9 bỏ đi số 3, 4, 5 và số a, b đã chọn)

Vậy có 6.2.6.5 = 360 số

Áp dụng quy tắc cộng ta có: 420 + 360 + 360 + 360 = 1500 số

Đáp án đúng là: D

Số cách cử 4 bạn học sinh trong 30 bạn là: \[C_{30}^4 = 27405\].

Số cách cử 4 bạn học sinh trong 27 bạn trong đó không có cán sự lớp là: \[C_{27}^4 = 17550\]Vậy số cách cử 4 bạn học sinh trong đó có ít nhất 1 cán sự lớp là: 27405 – 17550 = 9855.

Đáp án đúng là: C

Vì 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt nên số trận đấu là \(C_{10}^2 = 45\) (trận).

Gọi số trận hòa là x, số không hòa là 45 – x (trận).

Tổng số điểm mỗi trận hòa là 2, tổng số điểm của trận không hòa là 3(45 – x).

Theo đề bài ta có phương trình 2x + 3(45 – x) = 130 \( \Leftrightarrow \) x = 5.

Vậy có 5 trận hòa.                                                 

Đáp án đúng là: A

Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ thoả mãn bóng đèn loại I nhiều hơn bóng đèn loại II nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Lấy được 5 bóng đèn loại I: có \(C_5^5\) = 1 cách

Trường hợp 2: Lấy được 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có \(C_5^4.C_7^1\) = 35 cách

 Trường hợp 3: Lấy được 3 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có \(C_5^3.C_7^2\) = 210 cách

Theo quy tắc cộng, có 1 + 35 + 210 = 246 cách.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n ≥ 17; n \( \in \) ℕ, ta có \[C_n^4 = 20C_n^2\]\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]

\( \Leftrightarrow \) (n – 2)(n – 3) = 240\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\\n = - 13\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện n = 18 thoả mãn. Vậy \[M = A_3^2 + 3A_4^3\] = 78.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n \( \in \)ℕ, n ≥ 2.

Ta có \(3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 42\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 3\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} - 3\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 42\left( {n - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3\frac{{(n + 1)n(n - 1)(n - 2)...1}}{{3.2.1.(n - 2)...1}} - 3\frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{(n - 2)(n - 3)...1}} = 42(n - 1)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 3n\left( {n - 1} \right) = 42\left( {n - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \) (n + 1)n – 6n = 84

\( \Leftrightarrow \) n² – 5n – 84 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\\n = - 7\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện ta có n = 12 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Giá trị của biểu thức \(3C_n^4 - A_n^2\) = \(3C_{12}^4 - A_{12}^2\) =1353.

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài: Vì trong tập A không có 3 điểm nào thẳng hàng nên lấy bất kỳ 3 điểm của tập A sẽ tạo thành một tam giác và lấy 2 điểm bất kì của tập A sẽ tạo thành một đoạn thẳng. Số tam giác lập được là \(C_n^3\), số đoạn thẳng có thể tạo thành là \(C_n^2\). Theo bài ra ta có \(C_n^3 = 2C_n^2\) (1) (với n \( \in \)ℕ, n ≥ 3)

\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{6} = \frac{1}{{n - 2}} \Leftrightarrow n = 8\].

Đáp án đúng là: C

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: \[\overline {abc} \] (a ≠ 0) khi đó

chọn số c có 4 cách chọn ( vì \[\overline {abc} \] là số chẵn nên c chỉ có thể chọn một trong các số 2, 4, 6, 8)

chọn số a có 8 cách chọn (vì a được chọn tuỳ ý nên a có thể chọn một trong 8 số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

chọn số b có 8 cách chọn (vì b được chọn tuỳ ý nên b có thể chọn một trong 8 số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Vậy số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số là được lập từ các số trên là: 8.8.4 = 256 (số).