52 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Ôn tập Chương V-Đạo hàm (có đáp án)

Số gia của hàm số $y = x^{2} - 1$ tại điểm $x_{0} = 2$ ứng với số gia $Δ x = 0, 1$ bằng bao nhiêu?

A.0, 01

B. 0,41

C.0,99

D.11,1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f (2 + 0, 1) - f (2) \\ = {(2, 1)}^{2} - 1 - (2^{2} - 1) = 0, 41 \end{array}$

Chọn đáp án B

Câu 2:

Cho hàm số $g (x) = 9 x - \frac{3}{2} x^{2}$ . Đạo hàm của hàm số g(x) dương trong trường hợp nào?

A.x < 3

B.x< 6

C.x >3

D. x<- 3

Xem đáp án

Ta có

$\begin{array}{l} g^{'} (x) = {(9 x - \frac{3}{2} x^{2})}^{'} = 9 - 3 x \\ \Rightarrow g^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow 9 - 3 x > 0 \Leftrightarrow x < 3 \end{array}$ .

Chọn đáp án A

Câu 3:

Cho hai hàm số $f (x) = x^{2} + 5$ ; $g (x) = 9 x - \frac{3}{2} x^{2}$ . Giá trị của x là bao nhiêu để $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ ?

A. - 4

B. 4

C. $\frac{9}{5}$

D. $\frac{5}{9}$

Xem đáp án

Ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} f^{'} (x) = 2 x \\ g^{'} (x) = 9 - 3 x \end{matrix} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (x) \Leftrightarrow 2 x = 9 - 3 x \\ \Leftrightarrow 5 x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{9}{5} \end{array}$ .

Chọn đáp án C

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 3$ . Để $f^{'} (x) \leq 0$ thì x có giá trị thuộc tập hợp nào?

A. $[- \frac{7}{3}; 1]$

B. $[- 1; \frac{7}{3}]$

C. $(- \frac{7}{3}; 1)$

D. $\{- \frac{7}{3}; 1\}$

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = {(x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 3)}^{'} = 3 x^{2} + 4 x - 7$ .

Suy ra $f^{'} (x) \leq 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 4 x - 7 \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{7}{3} \leq x \leq 1$

Chọn đáp án A

Câu 5:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị $y = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = - 1$ là:

A. y = 8x + 3

B. y= 8x + 7

C. y = 8x + 8

D. y = 8x +11

Xem đáp án

Tọa độ tiếp điểm: $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = - 5$ . Tiếp điểm M (-1; -5).

Hệ số góc của tiếp tuyến: $y^{'} = 3 x^{2} - 4 x + 1 \Rightarrow y^{'} (- 1) = 8$ .

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_{0} = - 1$ có phương trình:

$y = 8 (x + 1) - 5 \Leftrightarrow y = 8 x + 3$ .

Chọn đáp án A

Câu 6:

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} + 1$ tại điểm có hoành độ -1 là:

A. 11

B. 4

C. 3

D. – 3

Xem đáp án

Hệ số góc của tiếp tuyến: $y^{'} = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x \Rightarrow y^{'} (- 1) = 3$ .

Chọn đáp án C

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = m x - \frac{1}{3} x^{3}$ . Với giá trị nào của m thì x= -1 là nghiệm của bất phương trình $f^{'} (x) < 2$ ?

A. m>3

B. m< 3

C.m = 3

D. m<1

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = m - x^{2} .$

Để x= - 1 là nghiệm của bất phương trình

$f^{'} (x) < 2$

$\Rightarrow f^{'} (1) < 2 \Leftrightarrow m - 1 < 2 \Leftrightarrow m < 3.$

Chọn đáp án B

Câu 8:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{2 x - 3 x^{2}}$ . Để $f^{'} (x) < 0$ thì x có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. $(- \infty; \frac{1}{3})$

B. $(0; \frac{1}{3})$

C. $(\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$

D. $(\frac{1}{3}; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có

$f' (x) < 0 \Leftrightarrow \frac{2 - 6 x}{2 \sqrt{2 x - 3 x^{2}}} < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 x^{2} > 0 \\ 2 - 6 x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x < \frac{2}{3} \\ x > \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow x \in (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$

Chọn đáp án C

Câu 9:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = (x + 2) (x - 3)$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. 2x+ 5

B. 2x – 7

C. 2x – 1

D. 2x - 5

Xem đáp án

Ta có

$f (x) = (x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6 \Rightarrow f' (x) = 2 x - 1$

Chọn đáp án C

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x - 3}{2 x - 1}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $- \frac{12}{{(2 x - 1)}^{2}}$

B. $- \frac{8}{{(2 x - 1)}^{2}}$

C. $- \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

D. $\frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Xem đáp án

Ta có

$f' (x) = \frac{2. (2 x - 1) - 2. (2 x - 3)}{{( 2 x - 1)}^{2}} = \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Chọn đáp án D

Câu 11:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{\cos x}{x^{2}}$

Xem đáp án

Ta có

$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{{(\cos x)}^{'} . x^{2} - {(x^{2})}^{'} . \cos x}{x^{4}} \\ = \frac{- \sin x . x^{2} - 2 x . \cos x}{x^{4}} = \frac{- x \sin x - 2 \cos x}{x^{3}} \end{array}$

Chọn đáp án B

Câu 12:

Phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^{2} + x + 3$ song song với đường thẳng $y = \frac{4}{3} - x$ là

A. $y = x - 2$

B. $y = 1 - x$

C. $y = 2 - x$

D. $y = 3 - x$

Xem đáp án

Ta có $y = x^{2} + x + 3 \Rightarrow y^{'} = 2 x + 1$

Giả sử $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm của tiếp tuyến với parabol $y = x^{2} + x + 3$

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = \frac{4}{3} - x$ nên $y^{'} (x_{0}) = - 1 \Leftrightarrow 2 x_{0} + 1 = - 1 \Leftrightarrow x_{0} = - 1; y (- 1) = 3$

Phương trình tiếp tuyến là $y = - 1 (x + 1) + 3$ hay $y = 2 - x$

Chọn đáp án C

Câu 13:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

B. $\frac{- 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

C. $- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

D. $\frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Xem đáp án

Áp dụng công thức ${(\frac{1}{v})}^{'} = \frac{- v^{'}}{v^{2}}$ .

Ta có: . $f^{'} (x) = \frac{- {(x^{2} - 1)}^{'}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ $= \frac{- 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Chọn đáp án B

Câu 14:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 3}{x^{2} + x - 1}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $- \frac{2 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}}$

B. $- \frac{4 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}}$

C. $- \frac{4 (2 x - 1)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}}$

D. $- \frac{4 (2 x + 4)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}}$

Xem đáp án

Áp dụng công thức ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} . v - v^{'} . u}{v^{2}}$ .

Ta có:

$y^{'} = \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{'} (x^{2} + x - 1) - {(x^{2} + x - 1)}^{'} (x^{2} + x + 3)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}}$

$\begin{array}{l} = \frac{(2 x + 1) ( x^{2} + x - 1) - (2 x + 1) . (x^{2} + x + 3)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}} \\ = \frac{(2 x + 1) . (x^{2} + x - 1 - x^{2} - x - 3)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}} = - \frac{4 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}} \end{array}$

Chọn đáp án B

Câu 15:

Đạo hàm của hàm số $y = {(x^{5} - 2 x^{2})}^{2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $10 x^{9} + 16 x^{3}$

B. $10 x^{9} - 14 x^{6} + 16 x^{3}$

C. $10 x^{9} - 28 x^{6} + 16 x^{3}$

D. $10 x^{9} - 28 x^{6} + 8 x^{3}$

Xem đáp án

Áp dụng công thức ${(u^{n})}^{'} = n u^{n - 1} . u^{'}$ .

Ta có

$y^{'} = 2 (x^{5} - 2 x^{2}) {(x^{5} - 2 x^{2})}^{'}$ $= 2 (x^{5} - 2 x^{2}) (5 x^{4} - 4 x)$

$= 2 ( 5 x^{9} - 4 x^{6} - 10 x^{6} + 8 x^{3}) = 2 (5 x^{9} - 14 x^{6} + 8 x^{3}) = 10 x^{9} - 28 x^{6} + 16 x^{3}$

Chọn đáp án C

Câu 16:

Đạo hàm của hàm số $y = {(\frac{2 - 3 x}{2 x + 1})}^{2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{- 14}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1}$

B. $\frac{- 4}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1}$

C. $\frac{16}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1}$

D. $2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1})$

Xem đáp án

Áp dụng công thức ${(u^{n})}^{'} = n u^{n - 1} . u^{'}$

và ${(\frac{a x + b}{c x + d})}^{'} = \frac{a d - b c}{{(c x + d)}^{2}}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} y^{'} = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) \\ ^{'} = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . \frac{- 3. (2 x + 1) - 2. (2 - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}} \end{array}$

$= 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . \frac{- 6 x - 3 - 4 + 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} = (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . \frac{- 14}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Chọn đáp án A

Câu 17:

22/07/2024

Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{1}{2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}}$

B. $\frac{4 x}{2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}}$

C. $\frac{3 x - 1}{\sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}}$

D. $\frac{6 x}{2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}}$

Xem đáp án

Áp dụng công thức ${(\sqrt{u})}^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$ .

Ta có:

$y^{'} = \frac{{(3 x^{2} - 2 x + 12)}^{'}}{2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}} = \frac{6 x - 2}{2 \sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}}$

$= \frac{3 x - 1}{\sqrt{3 x^{2} - 2 x + 12}}$

Chọn đáp án C

Câu 18:

Hàm số nào sau đây có đạo hàm $y^{'} = x \sin x$ ?

A. $x \cos x$

B. $\sin x - x \cos x$

C. $\sin x - \cos x$

D. $x \cos x - \sin x$

Xem đáp án

Ta đạo hàm từng đáp án:

${(x . \cos x)}^{'} = x^{'} . \cos x + x . {(\cos x)}^{'} = \cos x - x \sin x$

loại đáp án A

${(\sin x - x \cos x)}^{'} = \cos x - (\cos x - x \sin x) = x \sin x$

Chọn đáp án B

Câu 19:

Cho $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ . Biểu thức $f^{'} (\frac{π}{4})$ có giá trị là bao nhiêu?

A. – 2

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Ta có:

$f^{'} (x) = 2 \cos x {(\cos x)}^{'} - 2 \sin x {(\sin x)}^{'}$

$= - 2 \cos x \sin x - 2 \sin x \cos x = - 4 \sin x \cos x = - 2 \sin 2 x .$

$\Rightarrow f^{'} (\frac{π}{4}) = - 2 \sin 2 \frac{π}{4} = - 2 \sin \frac{π}{2} = - 2.$

Chọn đáp án A

Câu 20:

Nếu $f (x) = \frac{2 - x}{3 x + 1}$ thì $f^{''} (x)$ là biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{42}{{(3 x + 1)}^{2}}$

B. $\frac{2 x - 1}{{(3 x + 1)}^{3}}$

C. $\frac{42}{{(3 x + 1)}^{3}}$

D. $- \frac{42}{{(3 x + 1)}^{3}}$

Xem đáp án

Ta có:

$f^{'} (x) = \frac{- 1 ( 3 x + 1) - 3 ( 2 - x)}{{(3 x + 1)}^{2}} = - \frac{7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow f^{''} (x) = 7. \frac{2 (3 x + 1) . {(3 x + 1)}^{'}}{{(3 x + 1)}^{4}} = \frac{42}{{(3 x + 1)}^{3}}$ .

Chọn đáp án C

Câu 21:

21/07/2024

Đạo hàm của hàm số $y = {(\frac{2 - 3 x}{2 x + 1})}^{2}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{- 14}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1}$

B. $\frac{- 4}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1}$

C. $\frac{16}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1}$

D. $2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1})$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y^{'} = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) \\ ^{'} = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . \frac{- 3 (2 x + 1) - 2 (2 - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}} \\ = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . \frac{- 7}{{(2 x + 1)}^{2}} = - \frac{14}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1} \end{array}$

Chọn đáp án A

Câu 22:

Xét hàm số $y = f (x) = \sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}$ . Chọn câu đúng

A. $d f (x) = \frac{- \sin 4 x}{2 \sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}} d x$

B. $d f (x) = \frac{- \sin 4 x}{\sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}} d x$

C. $d f (x) = \frac{\cos 2 x}{\sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}} d x$

D. $d f (x) = \frac{- \sin 2 x}{\sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}} d x$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{{(1 + \cos^{2} 2 x)}^{'}}{2 \sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}} = \frac{2. c os2x . ( cos2x)'}{2 \sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}}$

= $\frac{- 2.2. \cos 2 x . \sin 2 x}{2 \sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}}$ = $\frac{- \sin 4 x}{\sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}}$

Nếu vi phân của hàm số đã cho là:

$d y = \frac{- \sin 4 x}{\sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}} d x$

Chọn đáp án B

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ có đồ thị (C),viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc bằng 2

A. $y = 2 x - \frac{7}{3}$ ; $y = 2 x + \frac{11}{6}$

B. $y = 2 x + \frac{4}{3}$ ; $y = 2 x + \frac{13}{6}$

C. $y = 2 x - \frac{7}{3}$ ; $y = 2 x + \frac{13}{6}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có $f' (x) = x^{2} - x$ . Gọi $X_{0}$ là hoành độ tiếp điểm

$f' (x_{0}) = 2 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - x_{0} = 2 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - x_{0} - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 2 \\ x_{0} = - 1 \end{matrix}$

* Với $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = \frac{5}{3}$ $\Rightarrow f' (2) = 2$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (2 ; $\frac{5}{3}$ ) là:

$y = 2 (x - 2) + \frac{5}{3} = 2 x - \frac{7}{3}$

* Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow f' (- 1) = 2$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1 ; $\frac{1}{6}$ ) là:

$y = 2 (x + 1) + \frac{1}{6} = 2 x + \frac{13}{6}$

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằng 2 là

$y = 2 x - \frac{7}{3}$ ; $y = 2 x + \frac{13}{6}$

Chọn đáp án C

Câu 24:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 5 x^{2} + 2$ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = - 3x + 1

A. y = -3x – 7

B. $y = - 3 x + \frac{67}{27}$

C. Cả A và B đúng

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Vì phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳngy =-3x + 1nên nó có hệ số góc là -3

Do đó $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 10 x = - 3 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ x = 3 \end{array}$

Với $x = \frac{1}{3}$ thì $y_{0} = \frac{40}{27}$ Vậy phương trình tiếp tuyến là: $y = - 3 (x - \frac{1}{3} ) + \frac{40}{27} = - 3 x + \frac{67}{27}$

Với x=3thì $y_{0} = - 16$ Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x- 3) – 16 = - 3x – 7

Chọn đáp án C

Câu 25:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 5 x^{2} + 2$ . Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đóvuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{7} x - 4$

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến .

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{7} x - 4$ nên: $k . \frac{1}{7} = - 1 \Rightarrow k = - 7$

Với k=-7 ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 10 x = - 7 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{7}{3} \end{array}$

Ứng với 2 giá trị của x ta viết được 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.

Chọn đáp án B

Câu 26:

Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ , trong đó $g = 9, 8 m / s^{2}$ và t tính bằng giây. Vận tốc của vật tại thời điểm t=5s bằng:

A. 49m/s

B. 25m/s

C. 10m/s

D. 18m/s

Xem đáp án

Ta có $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ => $s' (t) = g . t = v (t)$

Khi đó $v (5) = 9, 8.5 = 49$ m/s

Chọn đáp án A

Câu 27:

22/07/2024

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = 2 x^{5} + \frac{1}{x} + 3$

A. $10 x^{4} - \frac{1}{x^{2}}$

B. $10 x^{5} - \frac{1}{x^{2}} + 3$

C. $10 x^{4} + \frac{1}{x^{2}}$

D. $10 x^{4} - \frac{1}{x^{2}} + 3$

Xem đáp án

$y' = (2 x^{5} + \frac{1}{x} + 3)' = (2 x^{5})' + (\frac{1}{x})' + (3)' = 10 x^{4} + (- \frac{1}{x^{2}}) = 10 x^{4} - \frac{1}{x^{2}}$

Chọn đáp án A

Câu 28:

Tính đạo hàm của hàm số sau : $y = x^{5} - 5 x^{3} - 2 x^{2} + 1$

A. $x^{4} - 15 x^{2} + 4 x$

B. $5 x^{4} - 15 x^{2} - 4 x$

C. $5 x^{4} - 5 x^{2} - 4 x$

D. $5 x^{4} - 5 x^{2} - 2 x$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} y' = (x^{5} - 5 x^{3} - 2 x^{2} + 1)' \\ = (x^{5})' - 5 (x^{3})' - (2 x^{2})' + (1)' = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 4 x \end{array}$

Chọn đáp án B

Câu 29:

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \frac{2 x - 3}{x + 4}$

A. $y' = \frac{- 5}{{(x + 4)}^{2}}$

B. $y' = \frac{- 11}{{(x + 4)}^{2}}$

C. $y' = \frac{5}{{(x + 4)}^{2}}$

D. $y' = \frac{11}{{(x + 4)}^{2}}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = (\frac{2 x - 3}{x + 4})' = \frac{(2 x - 3)' . (x + 4) - (x + 4)' . (2 x - 3)}{{(x + 4)}^{2}} \\ = \frac{2 (x + 4) - (2 x - 3)}{{(x + 4)}^{2}} = \frac{2 x + 8 - 2 x + 3}{{(x + 4)}^{2}} = \frac{11}{{(x + 4)}^{2}} \end{array}$

Chọn đáp án D

Câu 30:

Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = (9 - 2 x) (3 x^{2} - 3 x + 1)$

A. $- 18 x^{2} + 46 x - 21$

B. $- 10 x^{2} + 66 x - 19$

C. $- 18 x^{2} + 66 x - 29$

D. $- 12 x^{2} + 48 x - 21$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = {[(9 - 2 x) (3 x^{2} - 3 x + 1)]}^{'} \\ = (9 - 2 x)' . (3 x^{2} - 3 x + 1) + (3 x^{2} - 3 x + 1)' . (9 - 2 x) \\ = - 2 (3 x^{2} - 3 x + 1) + (6 x - 3) (9 - 2 x) \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 6 x^{2} + 6 x - 2 + 54 x - 12 x^{2} - 27 + 6 x \\ = - 18 x^{2} + 66 x - 29 \end{array}$

Chọn đáp án C

Câu 31:

Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = {(2 x^{4} + 4 x - 3)}^{1994}$

A. $1994 {(2 x^{4} + 4 x - 3)}^{1993} (8 x^{3} + 4)$

B. $1994 {(2 x^{4} + 4 x - 3)}^{1993}$

C. $1994 {(2 x^{4} + 4 x - 3)}^{1993} (2 x^{3} + 4)$

D. $1994 {(2 x^{4} + 4 x - 3)}^{1993} (x^{3} + 4)$

Xem đáp án

$y' = 1994 {(2 x^{4} + 4 x - 3)}^{1993} (2 x^{4} + 4 x - 3) = 1994 {(2 x^{4} + 4 x - 3)}^{1993} (8 x^{3} + 4)$

Chọn đáp án A

Câu 32:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \sqrt{2 x^{2} -} 1$

A. $\frac{x}{2 \sqrt{2 x^{2} - 1)}}$

B. $\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1)}}$

C. $\frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1)}}$

D. $\frac{4 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1)}}$

Xem đáp án

Ta có:

$y' = 2 \frac{(2 x^{2} - 1)'}{2 \sqrt{2 x^{2} - 1)}} = \frac{4 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1)}}$

Chọn đáp án D

Câu 33:

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = {(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{3}$

A. $3 {(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{2} [5 x^{4} - \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 2}}]$

B. ${(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{2} [5 x^{4} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2}}]$

C. ${(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{2} [5 x^{4} - \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} - 2}}]$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y^{'} = {[{(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{3}]}^{'} \\ = 3 {(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{2} {(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 {(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{2} [{(x^{5})}^{'} - 2 {(\sqrt{x^{2} - 2})}^{'}] \\ = 3 {(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{2} [5 x^{4} - 2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{'}}{2 \sqrt{x^{2} - 2}}] \\ = 3 {(x^{5} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}^{2} [5 x^{4} - \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 2}}] \end{array}$

Chọn đáp án A

Câu 34:

21/07/2024

Giải bất phương trình sau $f^{'} (x)$ < 0,với $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 6 x$

A. S=(2 ; 3)

B. S= ( 1; 2)

C. S= (3; 4)

D. S = (2; 4)

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Mà $f^{'} (x)$ < 0 khi $x^{2} - 5 x + 6 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(2 ; 3)

Chọn đáp án A

Câu 35:

Giải bất phương trình $g^{'} (x) \leq 0$ với $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 9}{x - 2}$

A. S = (1; 3)

B. $S = [1; 3] / \{2\}$

C. $S = (- \infty; 1) \cup ( 3; + \infty)$

D. $S = (- \infty; 1)$

Xem đáp án

Ta có

$g^{'} (x) = \frac{( 2 x + 3) . (x - 2) - 1. (x^{2} + 3 x - 9)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Mà $g^{'} (x) \leq 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 3 \leq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \neq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow x \in [1; 3] \ \{2\}$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=[1 ; 3]\{2}

Chọn đáp án B

Câu 36:

Giải bất phương trình $f^{'} (x) < g' (x)$ , với $f (x) = x^{3} + x^{2} - \frac{1}{2};$ $g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$

A. S = (1; 2)

B. S= (-2; 1)

C. S = ( -1; 2)

D. S= (-2; -1)

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x$ , $g' (x) = 2 x^{2} + x + 2$

$\begin{array}{l} f' (x) < g' (x) \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x < 2 x^{2} + x + 2 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - x - 2 < 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1 \end{array}$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(-2 ; 1).

Chọn đáp án B

Câu 37:

Tính đạo hàm của hàm số y = sinx + cos x

A. sinx + cosx

B. sinx – cosx

C. cosx – sinx

D. - sinx – cosx

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = (\sin x + \cos x)' \\ y' = (\sin x)' + (\cos x)' = c osx - sinx \end{array}$

Chọn đáp án C

Câu 38:

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \tan x + \cot x$

A. $\frac{1}{\cos^{2} x} + \cot^{2} x$

B. $\tan^{2} x + \cot^{2} x + 1$

C. $\frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{1}{\sin^{2} x}$

D. $\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y = \tan x + \cot x \\ \Rightarrow y' = (\tan x + \cot x)' = (\tan x)' + (\cot x)' \\ = \frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x} \end{array}$

Chọn đáp án D

Câu 39:

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$

A. $\frac{- 2 \sin x}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

B. $\frac{2 c osx}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

C. $\frac{- 2}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

D. $\frac{- 2 s inx + c osx}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = (\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x})' \\ = \frac{(\sin x + \cos x)' . (\sin x - \cos x) - (\sin x - \cos x)' . (\sin x + \cos x)}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} \\ = \frac{(\cos x - \sin x) (\sin x - \cos x) - (\cos x + \sin x) (\sin x + \cos x)}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} \\ = \frac{- (\cos x - \sin x) (- \sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x) (\sin x + \cos x)}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{- {(\cos x - \sin x)}^{2} - {(\sin x + \cos x)}^{2}}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} \\ = \frac{- (\cos^{2} x - 2 \cos x \sin x + \sin^{2} x) - (\sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x)}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} \\ = \frac{- (1 - 2 \cos x \sin x) - (1 + 2 \sin x \cos x)}{{(\sin x - \cos x)}^{2}} \end{array}$

$= \frac{- 2}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

Chọn đáp án C

Câu 40:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin \frac{1}{x^{2}}$

A. $- \frac{2}{x^{2}} \cos \frac{1}{x^{2}}$

B. $\frac{2}{x^{4}} \cos \frac{1}{x^{2}}$

C. $- \frac{1}{2 x^{3}} \cos \frac{1}{x^{2}}$

D. $\frac{- 2}{x^{3}} \cos \frac{1}{x^{2}}$

Xem đáp án

$y' = (\sin \frac{1}{x^{2}})' = (\frac{1}{x^{2}})' \cos \frac{1}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}} \cos \frac{1}{x^{2}}$

Chọn đáp án D

Câu 41:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 3 \tan^{2} 2 x + c o t^{2} 2 x$

A. $y' = \frac{6 \tan 2 x}{\cos^{2} 2 x} + \frac{2 c o t 2 x}{\sin^{2} 2 x}$

B. $y' = - \frac{6 \tan 2 x}{\cos^{2} 2 x} + \frac{2 c o t 2 x}{\sin^{2} 2 x}$

C. $y' = \frac{12 \tan 2 x}{\cos^{2} 2 x} - \frac{4 c o t 2 x}{\sin^{2} 2 x}$

D. $y' = \frac{6 \tan 2 x}{\cos^{2} 2 x} - \frac{2 c o t 2 x}{\sin^{2} 2 x}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = (3 \tan^{2} 2 x + \cot^{2} 2 x)' \\ = 6 \tan 2 x (\tan 2 x)' + 2 \cot 2 x (\cot 2 x)' \\ = 6 \tan 2 x . \frac{(2 x)'}{\cos^{2} 2 x} + 2 \cot 2 x [- \frac{(2 x)'}{\sin^{2} 2 x}] \end{array}$

$= 12 \tan 2 x . \frac{1}{\cos^{2} 2 x} - 4 \cot 2 x . \frac{1}{\sin^{2} 2 x} = \frac{12 \tan 2 x}{\cos^{2} 2 x} - \frac{4 \cot 2 x}{\sin^{2} 2 x}$

Chọn đáp án C

Câu 42:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1} c o t 2 x$

A. $y' = \frac{x c o t 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 1}}{\sin^{2} 2 x}$

B. $y' = \frac{x c o t 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sin^{2} 2 x}$

C. $y' = \frac{x c o t 2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sin^{2} 2 x}$

D. $y' = \frac{x c o t 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sin^{2} 2 x}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = (\sqrt{x^{2} + 1} . \cot 2 x)' \\ = (\sqrt{x^{2} + 1})' . (\cot 2 x) + (\cot 2 x)' . (\sqrt{x^{2} + 1}) \\ = \frac{(x^{2} + 1)'}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} (\cot 2 x) - \frac{(2 x)'}{\sin^{2} 2 x} (\sqrt{x^{2} + 1}) \\ = \frac{x \cot 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 1}}{\sin^{2} 2 x} \end{array}$

Chọn đáp án A

Câu 43:

Xác định giá trị của $\sqrt{3, 99}$ với 4 chữ số thập phân

A. 1,9975

B. 1,9976

C. 1,9973

D.1,9974

Xem đáp án

Đặt $f (x) = \sqrt{x}$ , ta có f’(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Theo công thức tính gần đúng, với $x_{0}$ = 4, $∆$ x = -0,01 ta có :

f(3,99) =f(4 – 0,01) $\approx$ f(4) +f’(4)(-0,01),

tức là $\sqrt{3, 99}$ = $\sqrt{4 - 0, 01}$ $\approx \sqrt{4}$ + $\frac{1}{2 \sqrt{4}}$ (-0,01)=1,9975

Chọn đáp án A

Câu 44:

Tính giá trị của $\sin 30^{0} 30^{'}$

A. 0,5074

B. 0,5075

C. 0,5076

D. 0,5077

Xem đáp án

Do $30^{0} 30^{’}$ = $\frac{π}{6} + \frac{π}{360}$ nên ta xét hàm số f(x)=sinx tại điểm $x_{0} = \frac{π}{6}$ với số gia $Δ x = \frac{π}{360}$ . Áp dụng công thức : $f (x_{0} + x) \approx f (x_{0}) + f ’ (x) ∆ x$ , ta có :

$\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{360}) \approx \sin \frac{π}{6} + (c os \frac{π}{6}) \frac{π}{360} \\ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{π}{360} \approx 0, 5076 \end{array}$

Vậy $\sin 30^{0} 30^{'} = \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{360}) \approx 0, 5076$

Chọn đáp án C

Câu 45:

Tìm vi phân của hàm số $y = \frac{1}{x^{2}}$

A. $d y = \frac{1}{2 x^{3}} d x$

B. $d y = \frac{- 1}{2 x^{3}} d x$

C. $d y = \frac{- 2}{x^{3}} d x$

D. $d y = \frac{2}{x^{3}} d x$

Xem đáp án

Vi phân của hàm số đã cho là:

$d y = f' (x ) d x = \frac{- 1}{x^{4}} . (x^{2})' d x = \frac{- 1}{x^{4}} .2 x d x = \frac{- 1}{2 x^{3}} d x$

Chọn đáp án B

Câu 46:

21/07/2024

Tìm vi phân của hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

A. $d y = \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} d x$

B. $d y = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} d x$

C. $d y = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x$

D. $d y = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} d x$

Xem đáp án

Ta có:

$f^{'} (x) = \frac{- 1 ( 3 x + 1) - 3 ( 2 - x)}{{(3 x + 1)}^{2}} = - \frac{7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow f^{''} (x) = 7. \frac{2 (3 x + 1) . {(3 x + 1)}^{'}}{{(3 x + 1)}^{4}} = \frac{42}{{(3 x + 1)}^{3}}$

.Chọn đáp án C

Câu 47:

22/07/2024

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y = sin5x. cos2x

A. $y^{''} = \frac{1}{2} (- 49 \sin 7 x + 9 \sin 3 x)$

B. $y^{''} = - \frac{1}{2} (49 \sin 7 x + 9 \sin 3 x)$

C. $y^{''} = \frac{1}{2} (49 \sin 7 x - 9 \sin 3 x)$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y^{'} = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) \\ ^{'} = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . \frac{- 3 (2 x + 1) - 2 (2 - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}} \\ = 2 (\frac{2 - 3 x}{2 x + 1}) . \frac{- 7}{{(2 x + 1)}^{2}} = - \frac{14}{{(2 x + 1)}^{2}} . \frac{2 - 3 x}{2 x + 1} \end{array}$

Chọn đáp án A

Câu 48:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{2} . \sin x$

A. $y^{''} = (2 + x^{2}) \sin x + 2 x . \cos x$

B. $y^{''} = (1 - x^{2}) \sin x + 6 x . \cos x$

C. $y^{''} = (2 - x^{2}) \sin x + 4 x . \cos x$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có: $y' = 2 x . \sin x + x^{2} . \cos x$

$y'' = 2 \sin x + 2 x . c {osx + 2x.cosx - x}^{2} s inx = (2 - x^{2}) \sin x + 4 x . \cos x$

Chọn đáp án C

Câu 49:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 2$ có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -3

A. y = 3x + 11

B. y = 3x – 4

C. y = 2x+ 4

D. y = 2x – 1

Xem đáp án

Ta có $f' (x) = x^{2} - x$ . Gọi $x_{0}$ là hoành độ tiếp điểm

$f' (x_{0}) = 2 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - x_{0} = 2 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - x_{0} - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 2 \\ x_{0} = - 1 \end{matrix}$

* Với $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = \frac{5}{3}$ $\Rightarrow f' (2) = 2$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (2 ; $\frac{5}{3}$ ) là:

$y = 2 (x - 2) + \frac{5}{3} = 2 x - \frac{7}{3}$

* Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow f' (- 1) = 2$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1 ; $\frac{1}{6}$ ) là:

$y = 2 (x + 1) + \frac{1}{6} = 2 x + \frac{13}{6}$

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằng 2 là

$y = 2 x - \frac{7}{3}$ ; $y = 2 x + \frac{13}{6}$

Chọn đáp án C

Câu 50:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5$ : đi qua điểm $A (\frac{19}{12}; 4)$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Vì phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y =-3x + 1nên nó có hệ số góc là -3

Do đó

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 10 x = - 3 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ x = 3 \end{array}$

Với $x = \frac{1}{3}$ thì $y_{0} = \frac{40}{27}$ Vậy phương trình tiếp tuyến là: $y = - 3 (x - \frac{1}{3} ) + \frac{40}{27} = - 3 x + \frac{67}{27}$

Với x=3thì $y_{0} = - 16$ Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x- 3) – 16 = - 3x – 7

Chọn đáp án C

Câu 51:

Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ , trong đó $g = 9, 8 m / s^{2}$ và t tính bằng giây. Vận tốc của vật tại thời điểm t=5s bằng:

A. 49m/s

B. 25m/s

C. 10m/s

D. 18m/s

Xem đáp án

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến .

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{7} x - 4$ nên:

$k . \frac{1}{7} = - 1 \Rightarrow k = - 7$

Với k=-7 ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 10 x = - 7 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{7}{3} \end{array}$

Ứng với 2 giá trị của x ta viết được 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.

Chọn đáp án B

Câu 52: