Đáp án D

Phương pháp:

- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN, đó chính là mặt phẳng (SAD)

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến (SAD).

Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án.

Đáp án D

Phương pháp:

- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN, đó chính là mặt phẳng (SAD)

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến (SAD).

Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án.

Đáp án B

Phương pháp: Dạng bài này, ngoài cách rút m rồi xét hàm như thường lệ, ta có thể áp dụng điều kiện có nghiệm cho phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ là $a^2\le a^2+b^2$

Cách giải: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $5^2\le m^2+3^2\iff m^2\ge 16\iff \left|m\right|\ge 4.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn điều kiện có nghiệm của phương trình trên $a^2+b^2\le c$ là dẫn đến kết quả sai.

Đáp án B

Phương pháp: Dạng bài này, ngoài cách rút m rồi xét hàm như thường lệ, ta có thể áp dụng điều kiện có nghiệm cho phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ là $a^2\le a^2+b^2$

Cách giải: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $5^2\le m^2+3^2\iff m^2\ge 16\iff \left|m\right|\ge 4.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn điều kiện có nghiệm của phương trình trên $a^2+b^2\le c$ là dẫn đến kết quả sai.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức lãi kép: $T=M{\left(1+r\right)}^n$ với:

T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn;M là số tiền gửi ban đầu; n là số kỳ hạn; r là lãi suất định kỳ, tính theo %.

Cách giải: Gọi n là số năm cần gửi ít nhất để người đó có 250 triệu.

Ta có: ${250.10}^6={100.10}^6{\left(1+7,4\right)}^n$

$\iff n={\log }_{1+7,4\%}\left(\frac{{250.10}^6}{{100.10}^6}\right)\approx 12,8\Rightarrow n=13$ (năm).

Chú ý khi giải: HS sẽ phân vân khi chọn số năm cần gửi ít nhất vì $n~12,8$nên có thể sẽ chọn đáp án sai là n=12.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức lãi kép: $T=M{\left(1+r\right)}^n$ với:

T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn;M là số tiền gửi ban đầu; n là số kỳ hạn; r là lãi suất định kỳ, tính theo %.

Cách giải: Gọi n là số năm cần gửi ít nhất để người đó có 250 triệu.

Ta có: ${250.10}^6={100.10}^6{\left(1+7,4\right)}^n$

$\iff n={\log }_{1+7,4\%}\left(\frac{{250.10}^6}{{100.10}^6}\right)\approx 12,8\Rightarrow n=13$ (năm).

Chú ý khi giải: HS sẽ phân vân khi chọn số năm cần gửi ít nhất vì $n~12,8$nên có thể sẽ chọn đáp án sai là n=12.

Đáp án D

Phương pháp:

Công thức tính đạo hàm hàm hợp: $f;\left(u\left(x\right)\right)=u\text{'}\left(x\right).f\text{'}\left(u\right)$ .

Công thức tính đạo hàm: $\left(\ln u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u}$

Cách giải:

Có: $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2+1\right)\text{'}}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn: sử dụng công thức tính đạo hàm $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$ mà không chú ý đến công thức tính đạo hàm hàm hợp.

Đáp án D

Phương pháp:

Công thức tính đạo hàm hàm hợp: $f;\left(u\left(x\right)\right)=u\text{'}\left(x\right).f\text{'}\left(u\right)$ .

Công thức tính đạo hàm: $\left(\ln u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u}$

Cách giải:

Có: $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2+1\right)\text{'}}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn: sử dụng công thức tính đạo hàm $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$ mà không chú ý đến công thức tính đạo hàm hàm hợp.

Đáp án B

Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với ${\log }_2\left(x-2\right)$ và đặt ẩn phụ $t={\log }_2\left(x-2\right)$ với $t\in \left[-1;1\right]$

- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.

Cách giải: 

$\left(m-1\right){\log }_{\frac{1}{2}}^2{\left(x-2\right)}^2+4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\left(x>2\right)$

$\left(m-1\right){\log }_2^2\left(x-2\right)+\left(m-5\right){\log }_2\left(x-2\right)+m+1=0$

Đặt $y={\log }_2\left(x-2\right)\Rightarrow x\in \left[\frac{5}{2};4\right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right]$

Phương trình đã cho trở thành:

$\left(m-1\right)t^2+\left(m-5\right)t+m+1=0$

$\iff m\left(t^2+t+1\right)=t^2+5t+1$$\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$

vì $t^2+t+1>0\forall t\in \left[-1;1\right]$

Xét hàm số:$y=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$ trên $\left[-1;1\right]$

Có: $y\text{'}\left(t\right)=\frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}$

$y\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}=0\iff t=\pm 1\in \left[-1;1\right]$

Ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow m\in \left(-3;\frac{7}{3}\right)\Rightarrow a+b=-\frac{2}{3}.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.

Đáp án B

Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với ${\log }_2\left(x-2\right)$ và đặt ẩn phụ $t={\log }_2\left(x-2\right)$ với $t\in \left[-1;1\right]$

- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.

Cách giải: 

$\left(m-1\right){\log }_{\frac{1}{2}}^2{\left(x-2\right)}^2+4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\left(x>2\right)$

$\left(m-1\right){\log }_2^2\left(x-2\right)+\left(m-5\right){\log }_2\left(x-2\right)+m+1=0$

Đặt $y={\log }_2\left(x-2\right)\Rightarrow x\in \left[\frac{5}{2};4\right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right]$

Phương trình đã cho trở thành:

$\left(m-1\right)t^2+\left(m-5\right)t+m+1=0$

$\iff m\left(t^2+t+1\right)=t^2+5t+1$$\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$

vì $t^2+t+1>0\forall t\in \left[-1;1\right]$

Xét hàm số:$y=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$ trên $\left[-1;1\right]$

Có: $y\text{'}\left(t\right)=\frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}$

$y\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}=0\iff t=\pm 1\in \left[-1;1\right]$

Ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow m\in \left(-3;\frac{7}{3}\right)\Rightarrow a+b=-\frac{2}{3}.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.

Đáp án A

Phương pháp: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục là phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt Ox

Cách giải: Để đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $y=0\iff x^3+m{x}^2-9x-9m=0\left(1\right)$

$\iff \left(x+m\right)\left(x^2-9\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-m\\ x=\pm 3\end{array}\right.$

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt $\iff m=\pm 3$

Chú ý khi giải:HS cần xem lại các điều kiện để phương trình bậc ba có 1 nghiệm, hai nghiệm và ba nghiệm phân biệt.

Đáp án A

Phương pháp: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục là phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt Ox

Cách giải: Để đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $y=0\iff x^3+m{x}^2-9x-9m=0\left(1\right)$

$\iff \left(x+m\right)\left(x^2-9\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-m\\ x=\pm 3\end{array}\right.$

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt $\iff m=\pm 3$

Chú ý khi giải:HS cần xem lại các điều kiện để phương trình bậc ba có 1 nghiệm, hai nghiệm và ba nghiệm phân biệt.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi Rh$ 

Công thức tính thể tích khối trụ: $V=\pi R^{2}h$

Công thức tính diện tích hình cầu:$S=4\pi R^2$

Công thức tính thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Cách giải: Gọi bán kính đáy của hình trụ là $R\Rightarrow h=4R$.

$V=2V_1+V_2$ với $V_1$ là thể tích nửa khối cầu và $V_2$ là thể tích khối trụ.

$=2.\frac{2}{3}\pi R^3+\pi R^2.4R=\frac{16\pi R^3}{3}=\frac{128\pi }{3}\Rightarrow R=2$

Vậy $S=2S_1+S_2=2.\frac{4}{2}\pi R^2+2\pi R.4R=48\pi .$

Chú ý khi giải: HS thường hay nhầm lẫn các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích,… dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi Rh$ 

Công thức tính thể tích khối trụ: $V=\pi R^{2}h$

Công thức tính diện tích hình cầu:$S=4\pi R^2$

Công thức tính thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Cách giải: Gọi bán kính đáy của hình trụ là $R\Rightarrow h=4R$.

$V=2V_1+V_2$ với $V_1$ là thể tích nửa khối cầu và $V_2$ là thể tích khối trụ.

$=2.\frac{2}{3}\pi R^3+\pi R^2.4R=\frac{16\pi R^3}{3}=\frac{128\pi }{3}\Rightarrow R=2$

Vậy $S=2S_1+S_2=2.\frac{4}{2}\pi R^2+2\pi R.4R=48\pi .$

Chú ý khi giải: HS thường hay nhầm lẫn các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích,… dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án A

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ để tìm khoảng dương, âm của $f\text{'}\left(x\right)$, từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của $f\left(x\right)$.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ suy ra hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(-\infty -1\right)$ và $\left(1;2\right)$ (làm y'âm) và đồng biến trên $\left(-1;1\right)$ (làm y'dương).

Suy ra B, C, D sai và A đúng.

Chú ý khi giải:

HS có thể nhầm lẫn thành đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án A

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ để tìm khoảng dương, âm của $f\text{'}\left(x\right)$, từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của $f\left(x\right)$.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ suy ra hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(-\infty -1\right)$ và $\left(1;2\right)$ (làm y'âm) và đồng biến trên $\left(-1;1\right)$ (làm y'dương).

Suy ra B, C, D sai và A đúng.

Chú ý khi giải:

HS có thể nhầm lẫn thành đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}S.h$ với S là diện tích đáy,h là chiều cao.

Chú ý tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

Cách giải: Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(SBC\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(SAC\right)=AC\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}{S}_{SBC}.AC=\frac{1}{3}a\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}S.h$ với S là diện tích đáy,h là chiều cao.

Chú ý tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

Cách giải: Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(SBC\right)\perp \left(SBC\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(SAC\right)=AC\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}{S}_{SBC}.AC=\frac{1}{3}a\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Đáp án C

Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC.

Hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) có giao tuyến là EA

mà $AK\subset \left(AIB\text{'}\right);AH\subset \left(ACB\right);EA\perp AK;EA\perp AH\Rightarrow$hợp bởi hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) là KAH

Ta có: $BC=2a\cos 30°=a\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} A{E}^2=E{C}^2+A{C}^2-2AC.EC.\cos ACE \\ =3a^2+a^2-2a.a\sqrt{3}.\cos 150°=7a^2 \\ \Rightarrow AE=a\sqrt{7} \end{gathered}$$

Ta có:

 $\cos AEC=\frac{A{E}^2+E{C}^2-A{C}^2}{2AC.EC}=\frac{7a^2+3a^2-a^2}{2a\sqrt{7}.a\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{21}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan AEC=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}AEC}-1}=\frac{\sqrt{3}}{9}. \\ \Rightarrow AH=AE.\tan AEC=\frac{a\sqrt{21}}{9} \end{gathered}$$

Ta có: $\frac{EH}{EB}=\frac{HK}{BB\text{'}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow HK=\frac{EH.BB\text{'}}{EB}=\frac{AE.BB\text{'}}{2BC.\cos AEC} \\ =\frac{a\sqrt{7}.a.2\sqrt{21}}{2a\sqrt{3}.9}=\frac{7a}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos KAH=\frac{AH}{AK}=\frac{AH}{\sqrt{A{H}^2+H{K}^2}} \\ =\frac{a\sqrt{21}}{9\sqrt{\frac{21a^2}{81}+\frac{49a^2}{81}}}=\frac{\sqrt{30}}{10} \end{gathered}$$

Đáp án C

Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC.

Hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) có giao tuyến là EA

mà $AK\subset \left(AIB\text{'}\right);AH\subset \left(ACB\right);EA\perp AK;EA\perp AH\Rightarrow$hợp bởi hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) là KAH

Ta có: $BC=2a\cos 30°=a\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} A{E}^2=E{C}^2+A{C}^2-2AC.EC.\cos ACE \\ =3a^2+a^2-2a.a\sqrt{3}.\cos 150°=7a^2 \\ \Rightarrow AE=a\sqrt{7} \end{gathered}$$

Ta có:

 $\cos AEC=\frac{A{E}^2+E{C}^2-A{C}^2}{2AC.EC}=\frac{7a^2+3a^2-a^2}{2a\sqrt{7}.a\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{21}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan AEC=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}AEC}-1}=\frac{\sqrt{3}}{9}. \\ \Rightarrow AH=AE.\tan AEC=\frac{a\sqrt{21}}{9} \end{gathered}$$

Ta có: $\frac{EH}{EB}=\frac{HK}{BB\text{'}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow HK=\frac{EH.BB\text{'}}{EB}=\frac{AE.BB\text{'}}{2BC.\cos AEC} \\ =\frac{a\sqrt{7}.a.2\sqrt{21}}{2a\sqrt{3}.9}=\frac{7a}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos KAH=\frac{AH}{AK}=\frac{AH}{\sqrt{A{H}^2+H{K}^2}} \\ =\frac{a\sqrt{21}}{9\sqrt{\frac{21a^2}{81}+\frac{49a^2}{81}}}=\frac{\sqrt{30}}{10} \end{gathered}$$

Đáp án D

Phương pháp: Số tiệm cận đứng của hàm phân thức $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.

Cách giải: Ta thấy mẫu thức $x^2-1$có 2 nghiệm $x=\pm 1$và x = 1cũng là nghiệm của tử, $x=-1$ không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .

Chú ý khi giải: HS thường mắc phải sai lầm: nhận thấy mẫu có hai nghiệm phân biệt vội vàng kết luận có 2 tiệm cận dẫn đến kết quả sai.

Đáp án D

Phương pháp: Số tiệm cận đứng của hàm phân thức $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ là số nghiệm của mẫu mà không là nghiệm của tử.

Cách giải: Ta thấy mẫu thức $x^2-1$có 2 nghiệm $x=\pm 1$và x = 1cũng là nghiệm của tử, $x=-1$ không là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .

Chú ý khi giải: HS thường mắc phải sai lầm: nhận thấy mẫu có hai nghiệm phân biệt vội vàng kết luận có 2 tiệm cận dẫn đến kết quả sai.

Đáp án C

Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.

Sử dụng kết quả $A^2+B^2+C\ge C$ để tìm min F và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. 2

Cách giải: $F=\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}-\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

$$\begin{gathered} ={\left(\frac{a^2}{b^2}-1\right)}^2+{\left(\frac{b^2}{a^2}-1\right)}^2+{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-4 \\ \ge \frac{a^2+b^2}{ab}-4\ge 2-4=-2 \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left(a;b\right)=\left(-1;1\right)$ hoặc $\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)$

Vậy $Mi{n}_y=-2$ tại $\left(a;b\right)=\left(-1;1\right)$ hoặc $\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)$

Đáp án C

Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.

Sử dụng kết quả $A^2+B^2+C\ge C$ để tìm min F và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. 2

Cách giải: $F=\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}-\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

$$\begin{gathered} ={\left(\frac{a^2}{b^2}-1\right)}^2+{\left(\frac{b^2}{a^2}-1\right)}^2+{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-4 \\ \ge \frac{a^2+b^2}{ab}-4\ge 2-4=-2 \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left(a;b\right)=\left(-1;1\right)$ hoặc $\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)$

Vậy $Mi{n}_y=-2$ tại $\left(a;b\right)=\left(-1;1\right)$ hoặc $\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)$

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2, 4, 6,..., 20 phần tử.

Cách giải:

*TH1: A có 2 phần tử =>có $C_{20}^2$ tập hợp con có 2 phần tử.

*TH2: A có 4 phần tử =>có $C_{20}^4$tập hợp con có 4 phần tử.

….

*TH10: A có 20 phần tử =>có $C_{20}^{20}$ tập hợp con có 20 phần tử.

Suy ra tất cả có $\sum _{i=1}^{10}{C}_{20}^{2i}=2^{19}-1$ trường hợp.

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2, 4, 6,..., 20 phần tử.

Cách giải:

*TH1: A có 2 phần tử =>có $C_{20}^2$ tập hợp con có 2 phần tử.

*TH2: A có 4 phần tử =>có $C_{20}^4$tập hợp con có 4 phần tử.

….

*TH10: A có 20 phần tử =>có $C_{20}^{20}$ tập hợp con có 20 phần tử.

Suy ra tất cả có $\sum _{i=1}^{10}{C}_{20}^{2i}=2^{19}-1$ trường hợp.

Đáp án B

Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất thì ta cần tìm GTNN của đạo hàm.

Cách giải: Xét hàm số: $y=x^3-3x^2+5x-2$ trên R

Có $y\text{'}=3x^2-6x+5=3{\left(x-1\right)}^2+2\ge 2.$

Dấu “=” xảy ra

Với $x=1\Rightarrow y=1$

Vậy đường thẳng cần tìm là:

$y-1=2\left(x-1\right)\iff y=2x-1$

Đáp án B

Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất thì ta cần tìm GTNN của đạo hàm.

Cách giải: Xét hàm số: $y=x^3-3x^2+5x-2$ trên R

Có $y\text{'}=3x^2-6x+5=3{\left(x-1\right)}^2+2\ge 2.$

Dấu “=” xảy ra

Với $x=1\Rightarrow y=1$

Vậy đường thẳng cần tìm là:

$y-1=2\left(x-1\right)\iff y=2x-1$

Đáp án C

Phương pháp: Gọi là tâm hình vuông $\Rightarrow I\in OO\text{'}$.

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính AB.

Cách giải:

Ta có: $IB=\sqrt{O{I}^2+O{B}^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}+9a^2}=\frac{3a\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow AB=BI.\sqrt{2}=\frac{3a\sqrt{10}}{2}$

Đáp án C

Phương pháp: Gọi là tâm hình vuông $\Rightarrow I\in OO\text{'}$.

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính AB.

Cách giải:

Ta có: $IB=\sqrt{O{I}^2+O{B}^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}+9a^2}=\frac{3a\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow AB=BI.\sqrt{2}=\frac{3a\sqrt{10}}{2}$

Đáp án A

Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi Rl$

Cách giải:

Có: $l=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$S_{xq}=\pi Rl=\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{4}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi Rh$ với h là đường cao của hình nón.

Đáp án A

Phương pháp: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi Rl$

Cách giải:

Có: $l=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$S_{xq}=\pi Rl=\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{4}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn công thức tính diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi Rh$ với h là đường cao của hình nón.

Đáp án C

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.

Cách giải:

Xét hàm số: $y=x^3+3x^2+1\left(C\right)$ trên R

Ta có: $y\text{'}=3x^2+6x;y\text{'}=0\iff 3x^2+6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Ta có: $a=1>0\to B\left(0;1\right)$ là điểm cực tiểu của (C).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(3;0\right)\Rightarrow AB//Ox$

=> để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k>0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Gọi $d:y=kx+a$ với: $k>0;k,a\in R$

Ta lại có 

$A\left(-3;1\right)\in d\Rightarrow 1=-3k+a\iff a=1+3k$

$\Rightarrow d:y=kx+3k+1$

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

<=> phương trình: $kx+3k+1=x^3+3x^2+1\left(1\right)$có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình $\left(1\right)\iff \left(x+3\right)\left(x^2-k\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=\pm \sqrt{k}\end{array}\right.$vì k>0

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy $k>0;k\ne 9$ thỏa mãn yêu cầu của bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc.

Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.

Đáp án C

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.

Cách giải:

Xét hàm số: $y=x^3+3x^2+1\left(C\right)$ trên R

Ta có: $y\text{'}=3x^2+6x;y\text{'}=0\iff 3x^2+6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Ta có: $a=1>0\to B\left(0;1\right)$ là điểm cực tiểu của (C).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(3;0\right)\Rightarrow AB//Ox$

=> để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k>0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Gọi $d:y=kx+a$ với: $k>0;k,a\in R$

Ta lại có 

$A\left(-3;1\right)\in d\Rightarrow 1=-3k+a\iff a=1+3k$

$\Rightarrow d:y=kx+3k+1$

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

<=> phương trình: $kx+3k+1=x^3+3x^2+1\left(1\right)$có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình $\left(1\right)\iff \left(x+3\right)\left(x^2-k\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=\pm \sqrt{k}\end{array}\right.$vì k>0

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy $k>0;k\ne 9$ thỏa mãn yêu cầu của bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc.

Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đths $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=y_0$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=y_0$

Đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đths $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }y=\pm \infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }y=\pm \infty$ .

Cách giải:

$\underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }y\frac{3x}{1+2x}=\frac{3}{2}$

Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{1+2x}$ là đường thẳng $y=\frac{3}{2}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn giữa các điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đths $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=y_0$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=y_0$

Đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đths $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }y=\pm \infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }y=\pm \infty$ .

Cách giải:

$\underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }y\frac{3x}{1+2x}=\frac{3}{2}$

Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{1+2x}$ là đường thẳng $y=\frac{3}{2}$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn giữa các điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án.