a) Biểu thức  $\frac{1}{x}{y}^3$ không là đơn thức.

Biểu thức  $-xy+\sqrt{2}$ không là đơn thức.

Biểu thức  $\frac{\sqrt{x}}{5}$ không là đơn thức.

Các biểu thức còn lại đều là đơn thức.

b) - Đơn thức  $\frac{4}{5}x$ có hệ số là  $\frac{4}{5}$ và phần biến là x.

- Đơn thức  $\left(\sqrt{2}-1\right)xy$ có hệ số là  $\sqrt{2}-1$ và phần biến là xy.

- Đơn thức −3xy² có hệ số là −3 và phần biến là xy².

- Đơn thức  $\frac{1}{2}{x}^{2}y$ có hệ số là  $\frac{1}{2}$ và phần biến là x²y.

- Đơn thức  $-\frac{3}{2}{x}^{2}y$ có hệ số là  $-\frac{3}{2}$ và phần biến là x²y.

a) Bể thứ nhất có chiều sâu 1,2 m với hai kích thước đáy là x và y nên có dung tích V₁ = 1,2xy (m³). Bể thứ hai có chiều sâu 1,5 m với các kích thước đáy là 5x và 5y nên có dung tích là V₂ = 1,5.5x.5y = 37,5xy (m³).

Do đó số mét khối nước cần có để bơm đầy cả hai bể bơi là

V = V₁ + V₂ = 1,2xy + 37,5xy = (1,2 + 37,5)xy = 38,7xy (m³).

b) Khi x = 5 m, y = 3 m, lượng nước bơm đầy hai bể là

V = 38,7.5.3 = 580,5 (m³).

a) P = 5x⁴ – 3x³y + 2xy³ – x³y + 2y⁴ – 7x²y² – 2xy³

= 5x⁴ – (3x³y + x³y) + (2xy³ – 2xy³) + 2y⁴ – 7x²y²

= 5x⁴ – 4x³y + 2y⁴ – 7x²y².

Tất cả các hạng tử đều có bậc 4.

Vậy P là đa thức bậc 4.

Tại x = 1; y = −2, ta có

$P={5.1}^4-{4.1}^3.\left(-2\right)+2.{\left(-2\right)}^4-{7.1}^2.{\left(-2\right)}^2=17.$

b) Q = x³ + x²y – xy² – x²y – xy² – x³

= (x³ – x³) + (x²y – x²y) – (xy² + xy²) = –2xy².

Đa thức Q có bậc là 3.

Tại x = 1; y = −2, ta có:

Q = –2xy² = –2.1.(−2)² = –2.4 = –8.

a) C = A – B = (7xyz² – 5xy²z + 3x²yz – xyz + 1) – (7x²yz – 5xy²z + 3xyz² – 2)

= 7xyz² – 5xy²z + 3x²yz – xyz + 1 – 7x²yz + 5xy²z – 3xyz² + 2

= (7xyz² – 3xyz²) + (5xy²z – 5xy²z) + (3x²yz – 7x²yz) – xyz + (1 + 2)

= 4xyz² – 4x²yz – xyz + 3.

b) D = B – A = –(A – B) = –(4xyz² – 4x²yz – xyz + 3)

= –4xyz² + 4x²yz + xyz – 3.

c) E = A + B = (7xyz² – 5xy²z + 3x²yz – xyz + 1) + (7x²yz – 5xy²z + 3xyz² – 2)

= 7xyz² – 5xy²z + 3x²yz – xyz + 1 + 7x²yz – 5xy²z + 3xyz² – 2

= (7xyz² + 3xyz²) – (5xy²z + 5xy²z) + (7x²yz + 3x²yz) – xyz + (1 – 2)

= 10x²yz – 10xy²z + 10xyz² – xyz + 3.

Miếng bìa gồm có hai hình vuông có cạnh lần lượt là 2x và 2,5y ghép lại. Do đó diện tích của miếng bìa là 2x.2x + 2,5y.2,5y = 4x² + 6,25y².

Tổng diện tích hai hình tròn cắt ra là (2x)².π + (2,5y)².π = 4πx² + 6,25πy².

Vậy diện tích phần còn lại của miếng bìa là

(4x² + 6,25y²) − (4πx² + 6,25πy²) = 4(1 − π)x² + 6,25(1 − π)y².

Đó là một đa thức bậc 2.

+) N + N − P = (3x³ – 4x²y + 3x – y) + (5xy – 3x + 2) – (3x³ + 2x²y + 7x – 1)

= 3x³ – 4x²y + 3x – y + 5xy – 3x + 2 – 3x³ – 2x²y – 7x + 1

= (3x³ – 3x³) – (4x²y + 2x²y) + 5xy + (3x – 3x – 7x) – y + (2 + 1)

= – 6x²y + 5xy – 7x – y + 3.

+) M – N – P = (3x³ – 4x²y + 3x – y) – (5xy – 3x + 2) – (3x³ + 2x²y + 7x – 1)

= 3x³ – 4x²y + 3x – y + 5xy + 3x – 2 – 3x³ – 2x²y – 7x + 1

= (3x³ – 3x³) – (4x²y + 2x²y) + 5xy + (3x + 3x – 7x) – y + (1 – 2)

= – 6x²y + 5xy – x – y – 1.

Ta có:

A + B = (x²y² − axy² + 3y² − xy + b) + (cx²y² + 2xy² − dy² + 4)

= (1 + c)x²y² + (2 − a)xy² + (3 − d)y² − xy + (b + 4).

Theo đề bài, (1 + c)x²y² + (2 − a)xy² + (3 − d)y² − xy + (b + 4) = −2x²y² + 3y² − xy − 1.

So sánh hệ số của các hạng tử đồng dạng ở hai vế, ta có:

1 + c = −2 (hệ số của x²y²), suy ra c = −3; 3 − d = 3 (hệ số của y²), suy ra d = 0; 2 − a = 0 (hệ số của xy²), suy ra a = 2; b + 4 = −1 (hệ số tự do), suy ra b = −5.

Vậy đáp số của bài toán là a = 2, b = −5, c = −3 và d = 0.