Đáp án đúng là: B

Không có công thức lũy thừa cho hai lũy thừa không cùng số mũ và không cùng cơ số, do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: A

Với x > 0, ta có:

 $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}:x^{\frac{5}{8}}=\sqrt{x\sqrt{x\cdot x^{\frac{1}{2}}}}:x^{\frac{5}{8}}=\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}:x^{\frac{5}{8}}$

 $=\sqrt{x\cdot {\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}}:x^{\frac{5}{8}}=\sqrt{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}:x^{\frac{5}{8}}=\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}:x^{\frac{5}{8}}$

 $={\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^{\frac{1}{2}}:x^{\frac{5}{8}}=x^{\frac{7}{8}}:x^{\frac{5}{8}}=x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có log_a(a³b²) = log_aa³ + log_ab² = 3 + 2log_ab.

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất của lôgarit, ta thấy các công thức ở các đáp án A, B, D đúng.

Với đáp án C, ta có  ${\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x$.

Đáp án đúng là: A

Ta có log₆5 =  $\frac{1}{{\log }_{5}6}=\frac{1}{{\log }_5\left(2\cdot 3\right)}=\frac{1}{{\log }_{5}2+{\log }_{5}3}$

Đáp án đúng là: C

Ta có hàm số y = 2^x_­:

+ Có tập xác định là ℝ.

+ Có tập giá trị của hàm số là (0; + ∞).

+ Đồng biến trên ℝ (do 2 > 1).

+ Đồ thị của hàm số luôn nằm phía trên trục Ox.

Do vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: D

*Phương pháp giải:

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ: Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

*Lời giải:

Xét từng đáp án:

+ Hàm số y = log_0,5­x có tập xác định là (0; + ∞) và nghịch biến trên (0; + ∞) (do 0 < 0,5 < 1).

+ Hàm số y = e^{– x} =  ${\left(\frac{1}{e}\right)}^x$ có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do  $0<\frac{1}{e}<1$.

+ Hàm số  $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do  $0<\frac{1}{3}<1$.

+ Hàm số y = ln x có tập xác định là (0; + ∞) và đồng biến trên (0; + ∞) do e > 1.

*Các dạng bài tập thường gặp sự đồng biến/nghịch biến của hàm mũ:

* Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:

Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

* Dạng bài toán:

 Dạng 1: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m. 

Dạng 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Hàm lũy thừa (có đáp án)

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Hàm số y = log_ax và y = log_bx đồng biến trên (0; + ∞) nên a, b > 1.

+ Hàm số y = log_cx nghịch biến trên (0; + ∞) nên c < 1.

+ Với x > 1, ta có log_ax > log_bx  $\iff \frac{1}{{\log }_{a}x}<\frac{1}{{\log }_{b}x}$⇔ log_xa < log_xb ⇔ a < b.

Vậy c < a < b hay b > a > c.

Ta có:  $B={\log }_a\left(\frac{a^2\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right)+a^{2{\log }_a\frac{\sqrt{105}}{30}}$

$={\log }_a\left(\frac{a^2\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{1}{4}}}\right)+{\left(a^{{\log }_a\frac{\sqrt{105}}{30}}\right)}^2$

 $={\log }_a{a}^{2+\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{4}}+{\left(\frac{\sqrt{105}}{30}\right)}^2$

 $={\log }_a{a}^{\frac{173}{60}}+\frac{{\left(\sqrt{105}\right)}^2}{{30}^2}$

 $=\frac{173}{60}+\frac{105}{900}=3$.

a) 3^{1 – 2x} = 4^x

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta được

log₃3^{1 – 2x} = log₃4^x

⇔ 1 – 2x = x log₃4

⇔ (2 + log₃4)x = 1

 $\iff x=\frac{1}{2+{\log }_{3}4}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  $x=\frac{1}{2+{\log }_{3}4}$.

b) log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2

Điều kiện:  $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>-4\end{array}\right.\iff x>-1$.

Ta có log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2

⇔ log₃[(x + 1)(x + 4)] = 2

⇔ (x + 1)(x + 4) = 3²

⇔ x² + 5x + 4 = 9

⇔ x² + 5x – 5 = 0

⇔  $x=\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}$ hoặc  $x=\frac{-5-3\sqrt{5}}{2}$.

Loại nghiệm  $x=\frac{-5-3\sqrt{5}}{2}<-1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  $x=\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}$.

a) Biểu thức  $\sqrt{4^x-2^{x+1}}$ có nghĩa khi 4^x – 2^{x + 1} ≥ 0 ⇔ (2²)^x – 2^x . 2 ≥ 0

⇔ (2^x)² – 2^x . 2 ≥ 0 ⇔ 2^x(2^x – 2) ≥ 0 ⇔ 2^x – 2 ≥ 0 (do 2^x > 0 với mọi số thực x)

⇔ 2^x ≥ 2 ⇔ x ≥ 1.

Vậy tập xác định của hàm số  $y=\sqrt{4^x-2^{x+1}}$ là D = [1; + ∞).

b ) Biểu thức ln(1 – lnx) có nghĩa khi  $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 1-\ln x>0\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ \ln x<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 0<x<e\end{array}\right.\iff 0<x<e$.

Vậy tập xác định của hàm số y = ln(1 – lnx) là D = (0; e).

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại là  $A=100\cdot {\left(1-\frac{8}{100}\right)}^2=84,64$ (triệu đồng).

b) Ta có:  $100\cdot {\left(1-\frac{r}{100}\right)}^2=90\iff {\left(1-\frac{r}{100}\right)}^2=0,9$

 $\iff 1-\frac{r}{100}=\sqrt{0,9}\iff r\approx 5,13$ (do   $1-\frac{r}{100}>0$)

Vậy tỉ lệ lạm phát khoảng 5,13% một năm.

c) Với tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì với số tiền P ban đầu sau n năm sức mua còn lại là   $A=P\cdot {\left(1-\frac{5}{100}\right)}^n$.

Vì sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa nên ta có:

 $P\cdot {\left(1-\frac{5}{100}\right)}^n=\frac{P}{2}\iff 0,{95}^n=\frac{1}{2}\iff n={\log }_{0,95}\frac{1}{2}\approx 13,51$.

Vậy nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau khoảng 14 năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa.

a) Do ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con nên N₀ = 500 và với t = 1 thì N₁ = 800 nên ta có: 800 = 500e^{r ∙ 1} ⇔ e^r = 1,6 ⇔ r = ln1,6.

Khi đó N(t) = 500e^ln1,6t.

Với t = 5, ta có N(5) = 500e^{ln1,6 ∙ 5} = 5242,88.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn khoảng 5 242 con.

 b) Số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi, tức là tăng lên 1 000 con.

Ta có: 1 000 = 500e^ln1,6t ⇔ e^ln1,6t = 2 ⇔ (e^ln1,6)^t = 2 ⇔ 1,6^t = 2 ⇔ t = log_1,62 ≈ 1,47.

Vậy sau khoảng 1,47 giờ thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi.

a) Ta có  $P=\log \frac{d+1}{d}=\log \left(1+\frac{1}{d}\right)$, suy ra  $1+\frac{1}{d}={10}^P$ $\iff \frac{1}{d}={10}^P-1\iff d=\frac{1}{{10}^P-1}$.

b) Vì chữ số có xác suất bằng 9,7% nên P = 9,7% = 0,097, khi đó

 $d=\frac{1}{{10}^{0,097}-1}\approx 4$.

Vậy chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn là chữ số 4.

c) Chữ số đầu tiên là 1, tức là d = 1, khi đó ta có  $P=\log \frac{1+1}{1}=\log 2\approx 0,301=30,1\%$.

Vậy xác suất để chữ số đầu tiên là 1 bằng khoảng 30,1%.