Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau: 

Phần đất còn lại có dạng hình vuông có độ dài cạnh là: 15 – x – x = 15 – 2x (m). Do độ dài cạnh của phần đất còn lại lớn hơn 0 nên 15 – 2x > 0. 

Diện tích phần đất còn lại là: (15 – 2x)2 (m2). 

Theo bài, diện tích phần đất còn lại là 169 m2 nên ta có phương trình:  

(15 – 2x)2 = 169. 

Giải phương trình: 

(15 – 2x)2 = 169 

(15 – 2x)2 – 132 = 0 

(15 – 2x – 13)(15 – 2x + 13) = 0 

(2 – 2x)(28 – 2x) = 0 

Ta giải hai phương trình sau: 

⦁ 2 – 2x = 0 hay –2x = –2, suy ra x = 1. 

⦁ 28 – 2x = 0 hay –2x = –28, suy ra x = 14. 

Với x = 1 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.1 = 13 (m).  

Với x = 14 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.14 = –13 < 0 (vô lí). 

Vậy để diện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng của lối đi là 1 m. 

P(x) = (x + 1)(2x – 1) + (x + 1)x 

       = (x + 1)(2x – 1 + x) 

       = (x + 1)(3x – 1). 

Vậy P(x) = (x + 1)(2x – 1) + (x + 1)x = (x + 1)(3x – 1).

P(x) = 0 

(x + 1)(3x – 1) = 0 

Ta giải hai phương trình sau: 

⦁ x + 1 = 0 suy ra x = –1. 

⦁ 3x – 1 = 0 hay 3x = 1, suy ra  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –1 và

a) (3x + 1)(2 – 4x) = 0 

Ta giải hai phương trình sau: 

⦁ 3x + 1 = 0 hay 3x = –1, suy ra  

⦁ 2 – 4x = 0 hay –4x = –2, suy ra  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và  

b) x2 – 3x = 2x – 6 

(x2 – 3x) – (2x – 6) = 0 

x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 

(x – 3)(x – 2) = 0 

Ta giải hai phương trình sau: 

⦁ x – 3 = 0, suy ra x = 3. 

⦁ x – 2 = 0, suy ra x = 2. 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = 2. 

Phần đất còn lại có dạng hình vuông có độ dài cạnh là: 15 – x – x = 15 – 2x (m). Do độ dài cạnh của phần đất còn lại lớn hơn 0 nên 15 – 2x > 0. 

Diện tích phần đất còn lại là: (15 – 2x)2 (m2). 

Theo bài, diện tích phần đất còn lại là 169 m2 nên ta có phương trình:  

(15 – 2x)2 = 169. 

Giải phương trình: 

(15 – 2x)2 = 169 

(15 – 2x)2 – 132 = 0 

(15 – 2x – 13)(15 – 2x + 13) = 0 

(2 – 2x)(28 – 2x) = 0 

Ta giải hai phương trình sau: 

⦁ 2 – 2x = 0 hay –2x = –2, suy ra x = 1. 

⦁ 28 – 2x = 0 hay –2x = –28, suy ra x = 14. 

Với x = 1 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.1 = 13 (m).  

Với x = 14 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.14 = –13 < 0 (vô lí). 

Vậy để diện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng của lối đi là 1 m. 

Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, ta được: 

Thu gọn vế trái ta được: x = – 1. 

a) Ta có: x – 3 ≠ 0 khi x ≠ 3. 

Vậy điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 3 và x ≠ 0. 

b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (1), ta được: 

Khử mẫu ta được: (x + 3)(x – 3) = (x + 9)x. 

c) Giải phương trình: 

(x + 3)(x – 3) = (x + 9)x 

x2 – 9 = x2 + 9x 

x2 – 9 – x2 – 9x = 0 

–9x = 9 

x = –1. 

d) Giá trị x = –1 thỏa mãn điều kiện xác định x ≠ 3 và x ≠ 0 của phương trình (1). 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = –1. 

Ta có: 

⦁ x – 1 ≠ 0 khi x ≠ 1. 

⦁  

Với mọi x ta luôn có nên  

⦁ x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1). 

Khi đó x3 – 1 ≠ 0 khi (x – 1)(x2 + x + 1) ≠ 0, hay x – 1 ≠ 0, tức là x ≠ 1. 

Vì vậy, điều kiện xác định của phương trình đã cho là x ≠ 1. 

Quy đồng mẫu của phương trình, ta được:  

Khử mẫu của phương trình, ta được:  x2 + x + 1 – 4x = x(x – 1). (*) 

Giải phương trình (*): 

x2 + x + 1 – 4x = x(x – 1) 

x2 – 3x + 1 = x2 – x  

x2 – 3x + 1 – x2 + x = 0 

–2x = –1 

Giá trị thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  

a) x(x – 2) = 0 

Suy ra x = 0 hoặc x – 2 = 0 

Do đó x = 0 hoặc x = 2. 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = 2. 

a) (x2 – 4) + x(x – 2) = 0 

(x – 2)(x + 2) + x(x – 2) = 0 

(x – 2)(x + 2 + x) = 0 

(x – 2)(2x + 2) = 0. 

Ta giải hai phương trình sau: 

⦁ x – 2 = 0, suy ra x = 2. 

⦁ 2x + 2 = 0 hay 2x = –2, suy ra x = –1. 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 và x = –1. 

a)  

Ta có:  

⦁ 2x + 1 ≠ 0 khi 2x ≠ –1 hay  

⦁ x + 1 ≠ 0 khi x ≠ –1. 

Vì vậy, điều kiện xác định của phương trình đã cho là và x ≠ –1. 

Quy đồng mẫu của phương trình, ta được:  

Khử mẫu của phương trình, ta được: 2(x + 1) + 2x + 1 = 3. (*) 

Giải phương trình (*): 

2(x + 1) + 2x + 1 = 3 

2x + 2 + 2x + 1 = 3 

4x + 3 = 3 

4x = 0 

x = 0. 

Giá trị x = 0 thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0. 

b)  

Ta có: 

⦁ x + 1 ≠ 0, suy ra x ≠ –1. 

⦁  

Với mọi x ta luôn có nên  

⦁ x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1). 

Khi đó x3 + 1 ≠ 0 khi (x + 1)(x2 – x + 1) ≠ 0, hay x + 1 ≠ 0, tức là x ≠ –1. 

Vì vậy, điều kiện xác định của phương trình đã cho là x ≠ –1. 

Quy đồng mẫu của phương trình, ta được:  

Khử mẫu của phương trình, ta được: x2 – x + 1 – x(x + 1) = 3x. (**) 

Giải phương trình (**): 

x2 – x + 1 – x(x + 1) = 3x 

x2 – x + 1 – x2 – x – 3x = 0 

–5x = –1 

Giá trị thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình đã cho. 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  

Chiều dài của phần đất làm nhà là: 14 – (x + 2) = 12 – x (m). Điều kiện x < 12. 

Chiều rộng của phần đất làm nhà là: 12 – x (m). 

Diện tích đất làm nhà là: (12 – x)2 (m2). 

Theo bài, diện tích đất làm nhà là 100 m2 nên ta có phương trình:  

(12 – x)2 = 100. (*) 

Giải phương trình (*): 

(12 – x)2 = 100 

(12 – x)2 – 102 = 0 

(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0 

(2 – x)(22 – x) = 0 

Suy ra 2 – x = 0 hoặc 22 – x = 0 

Do đó x = 2 hoặc x = 22. 

Ta thấy x = 2 thỏa mãn điều kiện x < 12. 

Vậy x = 2. 

a) Do x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x > 0) nên khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ là (công việc). 

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ nên khối lượng công việc mà hai người làm được trong 1 giờ là (công việc). 

Khi đó, khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là (công việc). 

b) Hai người cùng làm trong 4 giờ được khối lượng công việc là (công việc). 

Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ được khối lượng công việc là (công việc). 

Theo bài, ta có phương trình:  

Giải phương trình (*): 

Suy ra x = 12. 

Giá trị x = 12 thỏa mãn điều kiện x > 0. 

Khi đó, khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là  (công việc). 

Vậy nếu làm một mình, để hoàn thành công việc thì người thứ nhất cần 12 giờ và người thứ hai cần 24 giờ.