Trong mỗi hình, độ dài các đoạn thẳng bằng nhau, độ lớn các góc hợp bởi hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

Trong Hình 2, ta thấy:

− Độ dài các cạnh của mỗi đa giác là bằng nhau.

− Số đo góc của mỗi đa giác là bằng nhau.

Các cung chia đường tròn (O; R) thành 6 cung có số đo bằng nhau, suy ra số đo mỗi cung là 360° : 5 = 72°.

Ta có  là góc nội tiếp chắn cung MN suy ra

Xét ΔMON, có: OM = ON = R suy ra ΔMON cân tại O.

Suy ra (tính chất tam giác cân).

Do đó

Tương tự, ta có 

Suy ra

Xét ΔOMN và ΔONP có:

 OM = OP; ON chung.

Do đó ΔOMN = ΔONP (c.g.c).

Suy ra MN = NP (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta thu được ngũ giác MNPQR có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng nhau (đều bằng 108°).

Vậy MNPQR là một đa giác đều.

Do ABCDEF là lục giác đều nên 

• .

• AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Vì M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA.

Suy ra AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QE = ER = RF = FS = SA.

Xét ΔSAM và ΔMBN có:

(chứng minh trên);

AM = BN (chứng minh trên);

SA = MB (chứng minh trên).

Do đó ΔSAM = ΔMBN  (c.g.c).

Suy ra SM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta được: MN = NP, NP = PQ, QR = RS, RS = SM. (1)

Vì AS = AM (chứng minh trên) suy ra ΔASM cân tại A.

Suy ra  (tính chất tam giác cân).

Do đó  (tổng 3 góc trong của tam giác).

Tương tự ta thu được:

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Ta có 

Tương tự, ta được:  (2)

Từ (1) và (2), suy ra MNPQRS là đa giác đều.

Trong quá trình trên, hình vuông H trùng khít với hình vuông ABCD 4 lần (không tính vị trí ban đầu trước khi quay).

• Lần 1, điểm M vạch lên cung số đo 90°.

• Lần 2, điểm M vạch lên cung số đo 180°.

• Lần 3, điểm M vạch lên cung số đo 270°.

• Lần 4, điểm M vạch lên cung số đo 360°.

Ta có I đỉnh của ngũ giác đều chia đường tròn (I) thành 5 cung bằng nhau, mỗi cung đo có số đo 72°.

Do đó, các phép quay 72°, 144°, 216°, 288° hoặc 360° tâm I cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ biến ngũ giác đều tâm I thành chính nó.

Gọi O là tâm đối xứng của đa giác đều 10 cạnh.

Ta có 10 đỉnh của đa giác đều, 10 cạnh chia đường tròn thành 10 cung bằng nhau mỗi cung có số đo 36°.

Do đó, các phép quay 36°, 72°, 108°, 144°, 180°, 216°, 252°, 288°, 324° hoặc 360°; tâm O cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ biến đa giác đều 10 cạnh thành chính nó.

Hình phẳng đều trong thực tế: mỗi mặt của rubik, bàn cờ, hộp mứt tết, viên gạch trang trí, biển báo giao thông,...

• Hình 11a) là tam giác đều.

Các phép quay biến tam giác đều thành chính nó là các phép quay 120°, 240° hoặc 360° tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình 11b) là hình vuông.

Các phép quay biến hình vuông thành chính nó là các phép quay 90°, 180°, 270°, 360° tâm I cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình 11c) là ngũ giác đều.

Các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là các phép quay 72°, 144°, 216°, 288°, 360° tâm A cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình 11d) là lục giác đều.

Các phép quay biến lục giác đều thành chính nó là các phép quay 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360° tâm B cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình11 e) là bát giác đều.

Các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là các phép quay 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° tâm C cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

Ta có 9 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 9 phần bằng nhau, số đo mỗi cung là:

360° : 9 = 40°.

Vì  là góc nội tiếp chắn cung AB nhỏ nên

Do OA = OB = R nên tam giác AOB cân tại O

Suy ra

Tương tự, ta có

Suy ra

Ta có

Đường viền ngoài của chiếc đồng hồ trong Hình 13 được làm theo hình bát giác đều.

Ta có 8 đỉnh của đa giác được chia thành 8 phần bằng nhau, mỗi cung có số đo 45°.

Do đó, các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° theo chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Hình tam giác đều GHK, hình vuông MNPQ, hình lục giác đều ABCDEF có các đỉnh nằm trên (O; R) được vẽ như hình dưới đây.

• Xét tam giác đều GHK.

Kẻ đường cao GI (I ∈ HK). Xét tam giác GIK vuông tại I, ta có:

GI = GK . sin K, suy ra

• Xét hình vuông MNPQ.

Tam giác NOP vuông tại O.

Theo định lí Pythagore, ta có: NP2 = ON2 + OP2 = R2 + R2 = 2R2.

Suy ra

 • Xét hình lục giác đều ABCDEF.

Tam giác AOB có OA = OB và nên là tam giác AOB đều.

Suy ra AB = OA = OB = R.

Vậy cạnh của tam giác đều GHK là , cạnh hình vuông MNPQ là  và cạnh hình lục giác đều ABCDEF là R.

Các hình phẳng có tính đều trong tự nhiên như con sao biển, bông hoa, lát cam,...

Các hình phẳng có tính đều trong sản xuất, thiết kế, mĩ thuật: trang trí nội thất, gạch,...