Lời giải:

Đáp án đúng là: A

+ Cách 1: Ta biểu diễn các góc lượng giác \(\alpha = - \frac{{5\pi }}{6}\), \(\beta = \frac{\pi }{3}\), \(\gamma = \frac{{25\pi }}{3}\), \(\delta = \frac{{17\pi }}{6}\) trên cùng một đường tròn lượng giác, nhận thấy hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.

+ Cách 2: Ta có: \(\gamma = \frac{{25\pi }}{3} = \frac{{24\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} = 4.2\pi + \frac{\pi }{3} = \beta + 4.2\pi \).

Do đó, hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì π – α và α là hai góc bù nhau nên sin(π – α) = sin α; cos(π – α) = – cos α. Do đó đáp án A đúng và đáp án B sai.

Ta có góc π + α và α là hai góc hơn kém nhau 1 π nên sin(π + α) = – sin α, cos(π + α) = – cos α. Do đó đáp án C và D đều đúng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có các công thức cộng:

cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b

sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Vậy đáp án A sai.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b)

= cos[(a + b) + (a – b)]               (áp dụng công thức cộng)

= cos 2a = 2cos² a – 1 = 1 – 2 sin² a     (áp dụng công thức nhân đôi)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = cos x:

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [– 1; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x là nghiệm của phương trình sin x = cos x ⇔ tan x = 1 (do \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\))

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có: \( - 2\pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \frac{{5\pi }}{2}\)\( \Leftrightarrow - \frac{{9\pi }}{4} \le k\pi \le \frac{{9\pi }}{4}\)\( \Leftrightarrow - 2,25 \le k \le 2,25\)

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {– 2; – 1; 0; 1; 2}.

Vậy đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Biểu thức \(\frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) có nghĩa khi sin x – 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Lời giải:

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên sin α > 0. Mặt khác từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}\)

\( = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{2} = \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{6}\).

b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}\)

\( = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{6}\).

c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\)\( = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}\)

\( = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 + 3}}{6}\).

d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}\)

\( = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{6}\).

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin² α + cos² α = 1

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: VT = (sin α + cos α)² = sin² α + cos² α + 2sin α cos α = 1 + sin 2α = VP (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin² α + cos² α = 1

và công thức nhân đôi: cos 2α = cos² α – sin² α.

Ta có: VT = cos⁴ α – sin⁴ α = (cos² α)² – (sin² α)²

= (cos² α + sin² α)(cos² α – sin² α) = 1 . cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Lời giải:

a) Ta có: \( - 1 \le \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 2 - 1 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 \le 2 - 1\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 3 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 \le 1\) với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1\) là [– 3; 1].

b) Ta có: sin x + cos x = \(\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x} \right)\)

\( = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4}\sin x + \sin \frac{\pi }{4}\cos x} \right)\)

\( = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Khi đó ta có hàm số y \( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Lại có: \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le y \le \sqrt 2 \) với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số y = sin x + cos x là \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Lời giải:

a) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \pi + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\,\] và \[x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\].

b) 2sin² x – 1 + cos 3x = 0

⇔ – (1 – 2sin² x) + cos 3x = 0

⇔ – cos 2x + cos 3x = 0

⇔ cos 3x = cos 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\5x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\,\] và \[x = k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}\].

c) \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{5} = x - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{{11\pi }}{{30}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = - \frac{{11\pi }}{{30}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải:

a) Chu kì của hàm số p(t) là T = \(\frac{{2\pi }}{{160\pi }} = \frac{1}{{80}}\).

b) Thời gian giữa hai lần tim đập là \(T = \frac{1}{{80}}\) (phút)

Số nhịp tim mỗi phút là \(1:\frac{1}{{80}} = 80\) nhịp.

c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ

⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25 với mọi t ∈ ℝ

⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25 với mọi t ∈ ℝ

⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140 với mọi t ∈ ℝ

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Lời giải:

Theo bài ra ta có: i = 50°, n₁ = 1, n₂ = 1,33, thay vào \(\frac{{\sin i}}{{\sin {\rm{r}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\) ta được:

\(\frac{{\sin 50^\circ }}{{\sin \,r}} = \frac{{1,33}}{1}\) (điều kiện sin r ≠ 0)

⇒ sin r = \(\frac{{\sin 50^\circ }}{{1,33}}\)

⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)

⇔ sin r ≈ sin(35°10’)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r \approx 35^\circ 10' + k360^\circ \\r \approx 180^\circ - 35^\circ 10' + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r \approx 35^\circ 10' + k360^\circ \\r \approx 144^\circ 50' + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.

Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.