Đáp án đúng là: B

Dãy số (u­_n) có ba số hạng đầu tiên là:

 $u_1=\frac{1}{3^1-1}=\frac{1}{2}$;

 $u_2=\frac{2}{3^2-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$;

 $u_3=\frac{3}{3^3-1}=\frac{3}{26}$

Đáp án đúng là: C

Dãy số   $\frac{1}{3};\frac{1}{3^2};\frac{1}{3^3};\frac{1}{3^4};\frac{1}{3^5};\mathrm{...}$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là  $\frac{1}{3}$ và công bội  $q=\frac{1}{3}$, có số hạng tổng quát là:  $u_n=\frac{1}{3}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

Đáp án đúng là: A

+) Ta có:  $u_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1+2}=\frac{n+2}{n+3}$

Xét hiệu  $u_{n+1}-u_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n^2+4n+4}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}-\frac{n^2+4n+3}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$.

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0, suy ra  $\frac{1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0$.

Do đó u_n+1 > u_n hay (u_n) là dãy tăng.

+) Ta có:  $u_n=1-\frac{1}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n + 2 ≥ 3

 $\Rightarrow u_n=1-\frac{1}{n+2}\ge 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Ta lại có n ∈ ℕ^* nên n > 0 suy ra  $\frac{1}{n+2}>0$. Do đó  $u_n=1-\frac{1}{n+2}<1$.

Vì vậy  $\frac{2}{3}\le u_n<1$ nên dãy số (u_n) bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Cấp số cộng (u­_n) có số hạng đầu u₁, công sai d có số hạng tổng quát là:

u_n = u₁ + (n – 1)d, với n ≥ 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u₂ = u₁ + d = – 1

⇔ d = – 1 – u₁ = – 1 – 3 = – 4.

Khi đó u₃ = u₁ + 2d = 3 + 2(– 4) = – 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₅ = u₁ + 4d = – 1 + 4.3 = 11.

Tổng năm số hạng đầu của cấp số cộng (u­_n) có số hạng đầu u₁ = – 1 và công sai d = 3 là:  $S_5=\frac{5\left(-1+11\right)}{2}=25$.

Đáp án đúng là: B

Để 2x – 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì:

x² = (2x – 1)(2x + 1)

⇔ x² = 4x² – 1

⇔ 3x² = 1

⇔  $\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

Vì vậy có hai số thực số x thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án đúng là: D

Giả sử tam giác có số đo các góc theo thứ tự tăng dần lần lượt: x; y; z (rad).

Vì x; y; z lập thành cấp số nhân có công bội q = 2 nên ta có:

y = x.2 = 2x, z = 2².x = 4x.

Mặt khác ta có: x + y + z = π

⇔ x + 2x + 4x = π

⇔ 7x = π

⇔ x =  $\frac{\pi }{7}$.

⇒ y =  $\frac{2\pi }{7}$ và z =  $\frac{4\pi }{7}$.

+) Ta có:  $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}$

Xét  $u_{n+1}-u_n=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{{3.3}^n-1}{2^{n+1}}-\frac{{2.3}^n-2}{2^{n+1}}=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra  $u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vì vậy dãy số tăng.

+) Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó 3ⁿ – 1 ≥ 2 > 0 và 2ⁿ > 0 nên  $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}>0$.

Do đó dãy số bị chặn dưới.

Ta có:  $u_n=\frac{2n+1}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$

+) Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1, suy ra n + 2 ≥ 3

 $\Rightarrow u_n=2-\frac{3}{n+2}\ge 1$

+) Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0 suy ra  $\frac{3}{n+2}>0$ 

 $\Rightarrow -\frac{3}{n+2}<0$

 $\Rightarrow 2-\frac{3}{n+2}<2$

Do đó ta có:  $1\le u_n<2$ hay dãy số (u_n) bị chặn.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 8 và công sai d = – 3.

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức truy hồi

u_n+1 = u_n + d với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (1)

- Định lí: Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó: $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$

*Lý thuyết:

I. Định nghĩa.

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

u_n+1 = u_n + d với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; công sai d = 3.

II. Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+\text{}1}}{2};k\ge 2$

- Định lí: Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó: $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

- Chú ý: vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên ta có: $S_n=n{u}_1^{}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{n(n-1)}{2}d$.

Xem thêm

Lý thuyết Cấp số cộng (mới + Bài Tập) – Toán 11

b)  $\left\{\begin{array}{l}{u}_7+u_{15}=60\\ u_4^2+u_{12}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+6d+u_1+14d=60\\ {\left(u_1+3d\right)}^2+{\left(u_1+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+20d=60\\ {\left(u_1+3d\right)}^2+{\left(u_1+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+30\\ {\left(u_1+3d\right)}^2+{\left(u_1+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+30\\ {\left(-10d+30+3d\right)}^2+{\left(-10d+30+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ {\left(-7d+30\right)}^2+{\left(d+30\right)}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ 49d^2-420d+900+d^2+60d+900=1170\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ 50d^2-360d+630=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ \left[\begin{array}{l}d=3\\ d=\frac{21}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1=30\\ d=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{u}_1=18\\ d=\frac{21}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 30 và công sai d = 3 hoặc số hạng đầu u₁ = 18 và công sai d =  $\frac{21}{5}$.

Gọi số cá thể ở thời điểm ban đầu của một quần thể động vật là u₁ = 110 000 (cá thể).

Sau 1 năm số cá thể của quần thể là: u₁ + 12%u₁ – 2%u₁ – 8%u₁ = u₁ + 2%u₁ (cá thể).

Sau 2 năm số cá thể của quần thể là: u₁ + 2%u₁ + 2%(u₁ + 2%u₁) = (1 + 2%).(u₁ + 2%u₁) = (1 + 2%)².u₁ = (1 + 2%)².110 000 = 114 444(cá thể).

Ta có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân (u_n).

Đặt tần số âm thanh của phím La Trung là số hạng đầu u₁ = 400.

Phím La Cao cao hơn 12 phím so với phím La Trung nên phím này ở u₁₃ = 800.

Ta lại có: u₁₃ = u₁.q¹² = 400q¹² = 800 ⇔ q =  $\sqrt[12]{2}\approx 1,059$.

Vậy công bội của cấp số nhân trên là 1,059.

Dân số Việt Nam qua mỗi năm lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 97,6 (triệu người), công bội q = 1 + 1,14% = 1,0114. Suy ra công thức số hạng tổng quát là: u_n = 97,6.(1,0114)^n-1­.

Từ năm 2020 đến năm 2040 có 21 năm nghĩa là dân số của Việt Nam năm 2040 là u₂₂ =97,6.(1,0114)²¹ = 123,832 (triệu người).