Sau khi học xong bài học này, chúng ta sẽ nhận biết được đồ thị hình sin và hình ảnh mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ chính là một ví dụ điển hình.

Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:

- Tung độ của điểm M là sint.

- Hoành độ của điểm M là cost.

Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.

b) Nếu $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì  $\tan t=\frac{\sin t}{\text{cos}t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

Nếu  $t\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ thì  $\cot t=\frac{\text{cos}t}{\sin t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

+) Xét Hình 2a): Tập xác định của hàm số là: D = ℝ

Tại x = 1 thì y = 1² = 1, x = – 1 thì y = (– 1)² = 1.

Tại x = 2 thì y = 2² = 4, x = – 2 thì y = (– 2)² = 4.

Nhận xét: Ta thấy với x ∈ D thì – x ∈ D thì

Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét Hình 2b): Tại x = 1 thì y = 2.1 = 2, x = – 1 thì y = 2.(– 1) = – 2.

Tại x = 2 thì y = 2.2 = 4, x = – 2 thì y = 2.(– 2) = – 4.

Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Với số thực T = 2π thì sin(x + 2π) = sinx.

Ta có: cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ ℝ;

cot(x + π) = cotx với mọi  $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Do đó hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.

Với $x=-\pi$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\pi \right)=-\sin \pi =0$. Ta có điểm A’(–π; 0).

Với  $x=-\frac{5\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $B\text{'}\left(-\frac{5\pi }{6};-\frac{1}{2}\right)$.

Với  $x=-\frac{2\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $C\text{'}\left(-\frac{2\pi }{3};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=-\frac{\pi }{2}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$. Ta có điểm  $D\text{'}\left(-\frac{\pi }{2};-1\right)$.

Với  $x=-\frac{\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $E\text{'}\left(-\frac{\pi }{3};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=-\frac{\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $F\text{'}\left(-\frac{\pi }{6};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=0$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in0}=0$. Ta có điểm O(0; 0).

Với  $x=\frac{\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $F\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=\frac{\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $E\left(\frac{\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=\frac{\pi }{2}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$. Ta có điểm  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$.

Với  $x=\frac{2\pi }{3}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm  $C\left(\frac{2\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Với  $x=\frac{5\pi }{6}$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$. Ta có điểm  $B\left(\frac{5\pi }{6};\frac{1}{2}\right)$.

Với  $x=\pi$ thì  $y=\mathrm{s}\text{in}\left(\pi \right)=\sin \pi =0$. Ta có điểm A(π; 0).

Khi đó ta có bảng:

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Ta có: – 1 ≤ s ≤ 1

⇔ – 1 ≤ 2cosπt ≤ 1

⇔  $-\frac{1}{2}$ ≤ cosπt ≤  $\frac{1}{2}$

⇔  $-\frac{2\pi }{3}$ ≤ πt ≤  $\frac{2\pi }{3}$

⇔  $-\frac{2}{3}$ ≤ t ≤  $\frac{2}{3}$.

Mà t ≥ 0 nên 0 ≤ t ≤  $\frac{2}{3}$.

Vậy với 0 ≤ t ≤  $\frac{2}{3}$ thì li độ s nằm trong đoạn [– 1; 1] (cm).

Cách 1: Ta có đồ thị của hàm số trên đoạn [–2π; 2π] là:

Do đó có 4 giá trị x thỏa mãn điều kiện bài toán.

*Phương pháp giải

Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu thoả mãn điều kiện cần và đủ sau:

Điều kiện 1: ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D

Điều kiện 2: ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu thoả mãn điều kiện cần và đủ sau:

Điều kiện 1: ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D

Chú ý. Điều kiện này còn gọi là điều kiện tập xác định đối xứng qua số 0. Ví dụ D = (-2;2) là tập đối xứng qua số 0, còn tập D' = [-2;3] là không đối xứng qua 0. Tập R = (−∞;+∞) là tập đối xứng.

Điều kiện 2: ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Ví dụ: Ví dụ: Hàm số y = x là hàm số lẻ

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Do đó nếu lấy một điểm bất kỳ (x;f(x)) trên đồ thị thì điểm đối xứng qua gốc tọa độ là điểm (−x;f(−x)) cũng thuộc đồ thị hàm số y = f(x). Vì hai điểm đó đối xứng với nhau qua gốc tọa độ nên f(−x) = − f(x).

*Lời giải

Xét hàm số: y = 5sin²x + 1, có:

Tập xác định D = ℝ.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = 5sin²(– x) + 1 = 5sin² x + 1 = y(x).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết nhất

Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải

b) Xét hàm số: y = cosx + sinx

Tập xác định: D = ℝ

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = cos(– x) + sin(– x) = cosx –  sin x ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

c) y = tan2x.

Tập xác định D =  $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = tan(– 2x) = – tan2x  ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này là hàm lẻ.

a) Điều kiện xác định là:  $\text{cos}x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Suy ra tập xác định của hàm số  $y=\frac{1}{\cos x}$ là:  $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Điểu kiện xác định là:  $\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Suy ra tập xác định của hàm số  $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ là:  $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) Điều kiện xác định là:  $2-{\sin }^{2}x\ne 0$

Vì  $-1\le x\le 1$ nên  $2-{\sin }^{2}x\ne 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra tập xác định của hàm số  $y=\frac{1}{2-{\sin }^{2}x}$ là: D = ℝ.

Ta có: – 1 ≤ cosx ≤ 1 khi đó – 1 ≤ 2cosx + 1 ≤ 3.

Vậy tập giá trị của hàm số là D = [– 1; 3].

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] là:

Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng  $y=\frac{1}{2}$ tại 2 điểm do đó phương trình sinx =  $\frac{1}{2}$ có hai giá trị x thỏa mãn.

a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Khi đó tọa độ điểm G(3cosα; 3sinα).

Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: 3 + 3sinα (m).

a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:

$\cot \alpha =\frac{TH}{AH}\iff TH=AH.\cot \alpha =500.\cot \alpha$ (m).

b) Ta có đồ thị của hàm số y = cotα trong khoảng $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}$ là:

Khi đó $-\frac{1}{\sqrt{3}}<\cot \alpha <\sqrt{3}$