Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hình ảnh tường nhà vuông góc với nền nhà gợi nên khái niệm hai mặt phẳng vuông góc.

Hai vách ngăn tủ được thiết kế vuông góc với nhau nên dễ dàng thấy được các góc nhị diện được tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) là những góc nhị diện vuông.

Những ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc là: Mặt tường vuông góc với sàn nhà, mặt ngang vuông góc với mặt đứng của bậc thang, …

Quan sát Hình 48 ta thấy:

a) Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q).

b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vuông góc với nhau.

* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

- Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).

- Chứng minh ((P), (Q)) = 90°

* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

- Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

- Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).

- Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

a) Ta có: A ∈ (AOS) ∩ (AOB);

               O ∈ (AOS) ∩ (AOB).

Suy ra AO = (AOS) ∩ (AOB).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB) là đường thẳng AO.

b) Ta có $\widehat{AOS}=90°$ nên SO ⊥ AO.

Mà AO là giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).

Vậy SO vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).

Vì B ∈ (ABD) ∩ (BCD);

     D ∈ (ABD) ∩ (BCD).

Suy ra BD = (ABD) ∩ (BCD).

Ta có: (ABD) ⊥ (BCD);

           (ABD) ∩ (BCD) = BD;

           CD ⊂ (BCD) và CD ⊥ BD.

Suy ra CD ⊥ (ABD).

Mà AD ⊂ (ABD) nên CD ⊥ AD.

Vậy tam giác ACD vuông tại D.

a) Ta có: SA ⊥ SB, SA ⊥ SC;

               SB ∩ SC = S trong (SBC).

Suy ra SA ⊥ (SBC).

Mà SA ⊂ (SAB).

Từ đó ta có (SAB) ⊥ (SBC).

b) Ta có: SA ⊥ (SBC) (theo câu a) và SA ⊂ (SCA) nên (SBC) ⊥ (SCA).

c) Ta có: SB ⊥ SA, SB ⊥ SC;

               SA ∩ SC = S trong (SCA).

Suy ra SB ⊥ (SCA).

Mà SB ⊂ (SAB).

Từ đó ta có (SCA) ⊥ (SAB).

Từ hình ảnh ta thấy hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là (P) và (R), (Q) và (R).

⦁ Hai mặt phẳng (P) và (R) vuông góc với nhau kí hiệu là: (P) ⊥ (R).

⦁ Hai mặt phẳng (Q) và (R) vuông góc với nhau kí hiệu là: (Q) ⊥ (R).

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

Ta cần chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q).

Thật vậy, ta lấy:

⦁ d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q);

⦁ a là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) sao cho a ⊥ d;

· O là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Do hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng chứa điểm O nên hai mặt phẳng đó cắt nhau theo giao tuyến d đi qua O.

Trong mặt phẳng (Q), qua O kẻ đường thẳng b vuông góc với d.

Như vậy ta có: d là cạnh của góc nhị diện [P, d, Q];

                         a ⊂ (P) và a ⊥ d tại O (với O ∈ d);

                         b ⊂ (Q) và b ⊥ d tại O (với O ∈ d);

Suy ra $\widehat{aOb}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [P, d, Q].

Mặt khác (P) ⊥ (Q) nên góc nhị diện [P, d, Q] vuông hay $\widehat{aOb}=90°.$

Suy ra a ⊥ b.

Ta có: a ⊥ d, a ⊥ b và d ∩ b = O trong (Q).

Suy ra a ⊥ (Q).

Vậy nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

a)

Giả sử ta có: (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R), gọi a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R).

Mà (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt nên a và b không trùng nhau.

Hơn nữa: a và b cùng nằm trong (R), nên xảy ra hai trường hợp:

⦁ Nếu a // b, mà a ⊂ (P), b ⊂ (Q) thì suy ra (P) // (Q).

⦁ Nếu a cắt b, mà a ⊂ (P) và b ⊂ (Q), thì ta gọi c = (P) ∩ (Q).

Do (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và c = (P) ∩ (Q) nên suy ra c ⊥ (R).

b)

Giả sử có ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q) và (R) ⊥ (P). Ta cần chứng minh (R) ⊥ (Q).

Gọi a = (P) ∩ (R), lấy d ⊂ (R) sao cho a ⊥ d.

Ta có: (R) ⊥ (P), a = (R) ∩ (P), d ⊂ (R) và a ⊥ d, suy ra d ⊥ (P).

Mà (P) // (Q), d ⊂ (R) nên d ⊥ (Q).

Suy ra (Q) ⊥ (R).

Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và chứa d.

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng (Q):

· Xét trường hợp d cắt (P) tại A.

Lấy M ∈ d sao cho M ≠ A. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

· Xét trường hợp d ⊂ (P) hoặc d // (P).

Lấy M ∈ d. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng (Q):

Giả sử tồn tại mặt phẳng (Q’) khác (Q) sao cho d ⊂ (Q’) và (P) ⊥ (Q’).

Ta thấy: d = (Q’) ∩ (Q).

Mà (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (Q’) nên suy ra d ⊥ (P).

Mâu thuẫn với giả thiết d không vuông góc với (P).

Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) sao cho d ⊂ (Q) và (P) ⊥ (Q).

a) Xét tam giác SAB vuông cân tại S có: SM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của AB) nên SM ⊥ AB.

Do A ∈ (SAB) ∩ (ABCD);

      B ∈ (SAB) ∩ (ABCD).

Suy ra AB = (SAB) ∩ (ABCD).

Ta có: (SAB) ⊥ (ABCD);

         SM ⊂ (SAB), SM ⊥ AB;

           (SAB) ∩ (ABCD) = AB.

Từ đó, ta có SM ⊥ (ABCD).

b) Do SM ⊥ (ABCD) và AD ⊂ (ABCD) nên SM ⊥ AD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD ⊥ AB.

Ta có: AD ⊥ AB, AD ⊥ SM và AB ∩ SM = M trong (SAB).

Suy ra AD ⊥ (SAB).

c) Do AD ⊥ (SAB) và SB ⊂ (SAB) nên AD ⊥ SB.

Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên SA ⊥ SB.

Ta có: SB ⊥ AD, SB ⊥ SA và AD ∩ SA = A trong (SAD).

Suy ra SB ⊥ (SAD).

Hơn nữa SB ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAD).

a) Do A ∈ (A’AB) ∩ (A’AC) và A’ ∈ (A’AB) ∩ (A’AC).

Suy ra AA’ = (A’AB) ∩ (A’AC).

Ta có: (A’AB) ⊥ (ABC);

           (A’AC) ⊥ (ABC);

           (A’AB) ∩ (A’AC) = AA’.

Do đó AA’ ⊥ (ABC).