Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ theo bảng giá trị và nằm phía trên trục hoành.

Tập xác định: $D=(0;+\infty )$

Do $\frac{3}{2}$ > 1 nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ .

Bảng giá trị:

x	1	2	3	4	5
y	0	${\log }_{\frac{3}{2}}2$	${\log }_{\frac{3}{2}}3$	${\log }_{\frac{3}{2}}4$	${\log }_{\frac{3}{2}}5$

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ theo bảng giá trị và nằm phía bên phải trục tung.

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình vẽ.

a) Để hàm số xác định thì x – 4 > 0  x > 4.

Tập xác định của hàm số là: $D=(4;+\infty )$

b) Để hàm số xác định thì x² + 2x + 1 > 0  $\Rightarrow x\ne -1$

Tập xác định của hàm số là: $D=ℝ\backslash \{-1\}$

c) $y={\log }_5\frac{x}{x-1}={\log }_{5}x-{\log }_5(x-1)$

 Để hàm số xác định thì   $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>1\end{array}\right.\iff x>1$

Tập xác định của hàm số là: $D=(-\infty ;0)\cup (\text{1;}+\infty )$

a) Ta thấy 1,04 >1 và 1,7 < 2.

Do đó 1,04^1,7 < 1,04².                    

b) Ta thấy $0<\frac{3}{5}<1$  và $-\frac{2}{5}>-\frac{3}{5}$

Do đó ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{2}{5}}$ < ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{3}{5}}$  .

c) Ta có: 1,2^0,3 > 1,2⁰ >1 (do 1,2 > 1 và 0,3 > 0)

Và 0,9^1,8 < 0,9⁰ < 1 (do 0 < 0,9 < 1 và 1,8 > 0)

Do đó 1,2^0,3 > 1 > 0,9^1,8.

d) Ta có: 3^0,4 > 3⁰ = 1 (do 3 > 1 và 0,4 > 0);

3^{– 0,2}  < 3⁰ =1 (do 3 > 1 và – 0,2 < 0).

Do đó, ta có: 3^0,4 > 1> 3^–0,2   hay ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0,4}$ > 1 > $3^{-0,2}$  .

a) Ta có ${\left(\frac{1}{3^3}\right)}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{3.3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^9$, $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{3}}$

Do đó $3^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{3}{5}}$  hay $\sqrt{3}$  < $\sqrt[5]{27}$ .

b) Ta có ${\left(\frac{1}{9}\right)}^4={\left(\frac{1}{3}\right)}^{2.4}={\left(\frac{1}{3}\right)}^8$  và ${\left(\frac{1}{3^3}\right)}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{3.3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^9$ .

Do đó ${\left(\frac{1}{3}\right)}^8>{\left(\frac{1}{3}\right)}^9$  hay ${\left(\frac{1}{9}\right)}^4<{\left(\frac{1}{27}\right)}^3$ .

c) Ta có $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}=\sqrt[3]{5^{-1}}={\left(5^{-1}\right)}^{\frac{1}{3}}=5^{-\frac{1}{3}}$ ; $\sqrt[5]{25}=\sqrt[5]{5^2}=5^{\frac{2}{5}}$ .

Do đó $5^{-\frac{1}{3}}<5^{\frac{2}{5}}$ hay $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}<\sqrt[5]{25}$ ;

d) Do $\sqrt[9]{0,7^{10}}=0,7^{\frac{10}{9}}$ và $\sqrt[10]{0,7^9}=0,7^{\frac{9}{10}}$ .

Do đó $0,7^{\frac{10}{9}}<0,7^{\frac{9}{10}}$  hay  $\sqrt[9]{0,7^{10}}<\sqrt[10]{0,7^9}$ .

a) Hàm số log x có cơ số là 10 > 1 nên đồng biến trên $(0;+\infty )$  và do 4,9 < 5,2.

Do đó log 4,9 < log 5,2;

b) Hàm số ${\log }_{0,3}x$  có cơ số 0 < 0,3 < 1 nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$ và 0,7 < 0,8.

Do đó ${\log }_{0,3}0,7$  > ${\log }_{0,3}0,8$ ;

c) Hàm số ${\log }_{3}x$  có cơ số là 3 > 1 nên đồng biến trên $(0;+\infty )$  và π > 3.

Do đó ${\log }_{\pi }3>{\log }_{3}3=1$(1)

Hàm số  có cơ số là π > 1 nên đồng biến trên và π > 3.

Do đó ${\log }_{\pi }3<{\log }_{\pi }\pi =1$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có, ${\log }_{\pi }3$  < 1 < ${\log }_3\pi$ .

Vậy ${\log }_{\pi }3$  < ${\log }_3\pi$ .

a) Ta có $2{\log }_{0,6}5={\log }_{0,6}{5}^2={\log }_{0,6}25$

$3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)={\log }_{0,6}{\left(\sqrt[3]{{3.2}^3}\right)}^3={\log }_{0,6}\left(24\right)$

Do hàm số ${\log }_{0,6}x$  cơ số 0 < 0,6 < 1 nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ và 25 > 24 .

Do đó ${\log }_{0,6}25<{\log }_{0,6}24$ .

Vậy $2{\log }_{0,6}5<3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)$ .

b) Ta có $6{\log }_{5}2={\log }_5{2}^6={\log }_{5}64$ ;

$2{\log }_{5}6={\log }_5{6}^2={\log }_{5}36$

Do hàm số ${\log }_{5}x$  cơ số 5 > 1 nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$  và 64 > 36.

Do đó ${\log }_{5}64>{\log }_{5}36$ ,

Vậy $6{\log }_{5}2>2{\log }_{5}6$ ;

c) Ta có $\frac{1}{2}{\log }_{2}121={\log }_2\sqrt{121}={\log }_{2}11$ ;

$2{\log }_{2}2\sqrt{3}={\log }_2{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=lo{g}_2{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=lo{g}_{2}12$

Do hàm số ${\log }_{2}x$  cơ số 2 > 1 nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$  và 11 < 12.

Do đó ${\log }_{2}11<lo{g}_{2}12$ .

Vậy $\frac{1}{2}{\log }_{2}121<2{\log }_{2}2\sqrt{3}$ ;

d) Ta có $2{\log }_{3}7={\log }_3{7}^2={\log }_{3}49$ ;

 $=6{\log }_{9}4=6{\log }_{3^2}4=6.\frac{1}{2}{\log }_{3}4$

$=3{\log }_{3}4=lo{g}_3{4}^3={\log }_{3}64$

Do hàm số ${\log }_{3}x$  cơ số  3 > 1 nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$  và 49 < 64.

Do đó ${\log }_{3}49<{\log }_{3}64$

Vậy $2{\log }_{3}7<6{\log }_{9}4$

a) Hàm số $y=f\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^x$ có cơ số  $\frac{\sqrt{5}}{2}>1$  nên đồng biến trên R, ta có:

• $\underset{x\in [-1;4]}{\max }y=f\left(4\right)={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^4=\frac{25}{16}$

• $\underset{x\in [-1;4]}{\min }y=f(-1)={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

b) Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{3^x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên R, ta có:

• $\underset{x\in [-2;2]}{\max }y=f(-2)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9$

•  $\underset{x\in [-2;2]}{\min }y=f\left(2\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$

a) Hàm số $y=f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x$ có cơ số $0<\frac{1}{\sqrt{3}}<1$  nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$ , ta có:

•  $\underset{x\in \left[\frac{1}{3};3\right]}{\max }y=f\left(\frac{1}{3}\right)={\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{1}{3}=2$

•  $\underset{x\in \left[\frac{1}{3};3\right]}{\min }y=f\left(3\right)={\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}3=-2$

b) Hàm số $y=f\left(x\right)={\log }_2(x+1)$ có cơ số $2>1$  nên đồng biến trên $(0;+\infty )$ , ta có:

•  $\underset{x\in \left[-\frac{1}{3};3\right]}{\max }y=f\left(3\right)={\log }_{2}4=2$

• $\underset{x\in \left[-\frac{1}{3};3\right]}{\min }y=f\left(-\frac{1}{2}\right)={\log }_2\frac{1}{2}=-1$

a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D(t) nghịch biến, do đó $0<a<1$

b) Ta có: D₀ = 100, 80 = 100.a¹ (mg)  $\Rightarrow a=\frac{80}{100}=0,8$

Vậy D₀ = 100, a = 0,8.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã còn còn D(5) = 100.0,8⁵.  

Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là

$\frac{D_0-D\left(5\right)}{D_0}=\frac{100-100.0,8^5}{100}\approx 0,6723\approx 67,23\%$

Vậy sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi khoảng 67,23% so với lượng thuốc ban đầu.