Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\frac{27}{512}$ là phân số tối giản và có mẫu số là 512. Ta có 512 = 2⁹ nên $\frac{27}{512}$ có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

$\frac{33}{528}=\frac{1}{16}$. Ta thấy $\frac{1}{16}$ có mẫu số là 16 mà 16 = 2⁴ nên $\frac{1}{16}$ có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay $\frac{33}{528}$ có thể viết dưới dạng số thập phân hữu hạn.

$\frac{31}{528}$ đây là phân số tối giản có mẫu số là 528. Ta có 528 = 2⁴.3.11 nên $\frac{31}{528}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

$\frac{25}{512}$ đây là phân số tối giản có mẫu số là 512 = 2⁹ nên có thể viết được dưới dạng số thập phân hữ hạn.

Đáp án đúng là B

3,(5) = 3 + 0,(5) = 3 + 5.0,(1) = 3 + 5.$\frac{1}{9}$ = 3 + $\frac{5}{9}$ = $\frac{32}{9}$.

Đáp án đúng là C

Ta đã biết, căn bậc hai số học của các số tự nhiên không chính phương đều là số vô tỉ nên 17 không phải là bình phương của một số hữu tỉ.

Mặt khác vì 153 = 17.9 nên nếu 153 là bình phương của số hữu tỉ x thì 17.9 = x², nên 17 = ${\left(\frac{x}{3}\right)}^2$ suy ra 17 là bình phương của số hữu tỉ $\frac{x}{3}$ (vô lí).

Do đó, A và B đều sai. Mặt khác, nếu 0,101001000… là bình phương của số hữu tỉ $\frac{p}{q}$ thì 0,101001000… = $\frac{p}{q}.\frac{p}{q}$. Suy ra 0,101001000.. là số thập phân vô hạn tuần oàn, điều này là vô lí. Do đó, D sai nên chỉ còn C đúng.

Ta sẽ thấy 15,21 = 3,9².

Đáp án đúng là: A

Vì x² $\ge$0 nên x² +16 $\ge$0 + 16 = 16, do đó, $\sqrt{x^2+16}\ge \sqrt{16}=4$ 

nên $\sqrt{x^2+16}-8\ge 4-8=-4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -4. Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Đáp án đúng là: C

Để căn xác định thì x $\ge$5

Với mọi x $\ge$5 thì $\sqrt{x-5}\ge 0$ nên $4.\sqrt{x-5}\ge 4.0=0$

Do đó, $-4.\sqrt{x-5}\le 0$ nên $2-4\sqrt{x-5}\le 2-0$ hay $2-4\sqrt{x-5}\le 2$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 đạt được khi x = 5.

Đáp án đúng là C

A. Tích của hai số vô tỉ là một số vô tỉ;

Khảng định này sai vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nhưng tích của $\sqrt{2}$.$\sqrt{2}$ = 2 là số hữu tỉ.

B. Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ;

Khẳng định này sai vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ và -$\sqrt{2}$ cũng là số vô tỉnh nhưng $\sqrt{2}$ + (-$\sqrt{2}$ ) = 0 lại là số hữu tỉ.

C. Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ;

Khẳng định này đúng vì tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.

D. Thương của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.

Khẳng định này sai vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nhưng $\sqrt{2}$: $\sqrt{2}$ = 1 lại là số hữu tỉ.

Đáp án đúng là: D

Khẳng định sai là D vì nếu x < 0 thì |x| = -x.

Ví dụ: |-5| = 5.

Đáp án đúng là: D

A sai , khi x < y

B sai nếu x = 0 và y khác 0

C sai, chẳng hạn khi x = -y và y khác 0

D đúng, theo quy tắc cộng hai số trái dấu.

Làm tròn số 6,238 đến hàng đơn vị ta thu được kết quả là 6. Làm tròn 3,91 đến hàng đơn vị ta thu được kết quả là 4.

Ta có 6,238.3,91 $\approx$6.4 = 24. Nên kết quả của phép tính 6,238.3,91 sẽ gần với 24.

Mà kết quả đề bài cho là 21,390558 rất xa so với 24 nên phép tính sai.

Làm tròn số 1,(8) tới hàng đơn vị ta thu được kết quả là 2.

Ta có: 28,1 . 1,(8) $\approx$28,1 . 2 = 56,2. Vậy kết qảu của phép tính phải gần với 56,2 nhưng kết quả đề bài cho lại là 55,0(7) khác xa 56,2. Nên kết quả phép tính đề bài sai.

Ta có: 0,(3) = 3. 0,(1) = 3.$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3}$.

Do đó, 0,(3)² = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}=0.\left(1\right)$.

Do đó, 0,(3)² = 0,(1).

Ta có: 0,1(235) = 1, (235) : 10 = (1 + 0,(235)) : 10

Đặt x = 0,(235) thì 1000x = 235,(235) = 235 + x, suy ra 999x = 23 nên x = $\frac{235}{999}$.

Do đó, 0,1(235) = $\left(1+\frac{235}{999}\right):10=\frac{1234}{9990}$.

2,25 – 2,(3) = (2 + 0,25) – (2 + 0,(3)) = 2 + 0,25 – 2 – 0,(3) = 0,25 – 0,(3)

Ta có: 0,25 = $\frac{1}{4}$; 0,(3) = 3. 0,(1) $3.\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$

Do đó, 2,25 – 2, (3) = $\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{-1}{12}=-0,08\left(3\right)$

Ta làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn thu được kết quả làm tròn là -0,083

Vì hai số đều có phần nguyên là 1 giống nhau nên ta đi so sánh phần thập phân của hai số là 0,0(10) và 0,(01).

Đặt x = 0,0(10) và y = 0,(01).

Ta thấy 1000x = 10,(10) = 10 + 0,(10) = 10 + 10x nên 990x = 10. Suy ra x = $\frac{10}{990}=\frac{1}{99}$

Tương tự, 100y = 1,(01) = 1 + y nên 99y = 1. Suy ra y = $\frac{1}{99}$.

Do đó, x = y = $\frac{1}{99}$.

Suy ra, a = b.

Số a = 555 555 có tổng các chữ số bằng 30 và 30 chia 9 dư 3 nên a chia 9 dư 3. Nếu $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì a phải là số chính phương, tức là a = n² $\left(n\in \mathbb{N}\right)$. Các số chính phương đầu tiên là 0; 4; 9; 16;25; 36;49;64; 81; 100; 121; 144; 169… Khi ta chia các số này cho 9 ta thấy các số dư lần lượt là 0; 4; 0; 7; 7; 1; 0; 4; 0; 7;… Các số dư tuần hoàn với chu kỳ là 0; 4; 0; 7; 7; 1. Như vậy các số chính phương khi chia cho 9 không bao giờ có dư 3. Từ đó, a= 555 555 không phải số chính phương nên $\sqrt{555555}$ là số vô tỉ.

Ta có 11…1 có 101 chữ số 1 nên tổng các chữ số của nó bằng 101.

Vì 101 chia cho 3 dư 2 nên 11...1 (101 số 1) chia cho 3 cũng dư 2.

Mặt khác, bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 nên 11…1 (101 chữ số 1) không phải số chính phương. Vì vậy $\sqrt{\mathrm{11...1}}$ là số vô tỉ.

+) Nếu x, y $\ge 0$ thì xy $\ge 0$ và x = |x| = a; y = |y| = b; |xy| = xy = ab.

Do đó, |xy| = ab.

+) Nếu x, y < 0 thì xy > 0 và x = -|x| = -a; y = -|y| = -b ; |xy| = (-a).(-b) = ab.

Do đó, |xy| = ab.

+) Nếu x, y trái dấu, ví dụ x > 0 và y < 0 thì x.y < 0

Nên |xy| = -xy = (-a).(-b) = ab.

Ta có: |x – 1| + | x – 3| = |x – 1| + |3 – x| $\ge$ |(x – 1) + (3 – x)| = |x – 1 + 3 – x| = |2| = 2

Vì x – 1| + | x – 3| = |x – 1| + |3 – x| $\ge$ 2 mà 2 > $\sqrt{2}$ nên không có số thực nào thỏa mãn |x – 1| + |x – 3| = $\sqrt{2}$.

Ta có: |x | + |x – 4| = |x| + |4 – x| $\ge$| x + (4 – x)| = |x + 4 – x| = |4|

Lại có: |x – 2| $\ge$0 nên |x| + |x – 2| + |x – 4| $\ge$4 (điều phải chứng minh).

Giả sử x là một số vô tỉ và n là một số nguyên dương. Nếu tích nx là số hữu tỉ thì x = $\frac{nx}{n}$ là số hữu tỉ (thương của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ), trái với giả thiết x là số vô tỉ. Vậy nx phải là số vô tỉ.

Như vậy, $\sqrt{2};2\sqrt{2};3\sqrt{2}\mathrm{...}$ đều là số vô tỉ, do đó có vô số số vô tỉ.

a) Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.

Kết luận này sai vì $\sqrt{5}$ là số vô tỉ và -$\sqrt{5}$ nhưng $\sqrt{5}$ + (-$\sqrt{5}$) = 0 là số hữu tỉ.

b) Tổng của hai số vô tỉ dương là một số vô tỉ.

Khẳng định này sai vì $\sqrt{2}$ và 5 - $\sqrt{2}$ là các số vô tỉ dương nhưng tổng của chúng $\sqrt{2}$ + (5 - $\sqrt{2}$) = $\sqrt{2}$ + 5 - $\sqrt{2}$ = 5 là một số hữu tỉ

c) Tổng của hai số vô tỉ âm là một số vô tỉ.

Khảng định này sai vì -$\sqrt{2}$ và -5 + $\sqrt{2}$ là các số vô tỉ âm nhưng (-$\sqrt{2}$) + (-5 + $\sqrt{2}$) = -$\sqrt{2}$ + (-5) + $\sqrt{2}$ = -5 là một số hữu tỉ.

Chia hình vuông đã cho thành 25 hình vuông nhỏ có cạnh bằng 1. Nếu trong mỗi hình vuôn nhỏ có không quá ba điểm (trong số các điểm đã cho) thì trong hình vuông lớn có không quá 25.3 = 75 (điểm), trái với giả thiết trong hình vuông lớn có 76 điểm. Như vậy, có ít nhất một hình vuông nhỏ (cạnh bằn 1) chưa bốn điểm (trong các điểm đã cho). Hình tròn với đường kính là đường chéo của hình vuông nhỏ này chứa toàn bộ hình vuông nhỏ và có bán kính $\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{3}{4}$.