Ta có: $\sqrt{0,1}=0,01$ đây là kết quả sai vì $\sqrt{0,1}=0,\mathrm{31622...}$

$\sqrt{16}=-4$ đây là kết quả sai vì $\sqrt{16}=4$.

$\sqrt{-0,09}=0,3$ đây là kết quả sai vì -0,09 không có căn bậc hai số học.

$\sqrt{0,04}=0,2$ đây là kết quả đúng vì 0,2² = 0,04.

$-\frac{16}{3}$ = -5,(3). Vì $-\frac{16}{3}$ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $-\frac{16}{3}$ không phải số vô tỉ.

$\sqrt{36}$ = 6. Vì $\sqrt{36}$ là số nguyên nên $\sqrt{36}$ không phải số vô tỉ.

$\sqrt{47}$ = 6,855... Vì $\sqrt{47}$ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên $\sqrt{47}$ là số vô tỉ.

$-2\pi$ = -6,2831… Vì $-2\pi$ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên $-2\pi$ là số vô tỉ.

a = 0,777… = 0,(7). Vì a được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nên a không là số vô tỉ;

b = 0,70700700070000… Vì b được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên b là số vô tỉ;

c = $\frac{-1}{7}$ = -0,142857142857... = -0,(142857). Vì c được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nên c không là số vô tỉ;

d = $\sqrt{{\left(-7\right)}^2}$ = $\sqrt{49}$ = 7. Vì d là số nguyên nên d không là số vô tỉ.

Vậy trong các số đã cho chỉ có số 0,70700700070000… là số vô tỉ.

$a=\sqrt{961}+\frac{1}{\sqrt{962}}=\sqrt{{31}^2}+\frac{1}{\sqrt{962}}=31+\frac{1}{\sqrt{962}}$;

$b=\sqrt{1024}+\frac{1}{\sqrt{1023}}-1=\sqrt{{32}^2}+\frac{1}{\sqrt{1023}}-1=32+\frac{1}{\sqrt{1023}}-1=31+\frac{1}{\sqrt{1023}}$

Vì 962 < 1023 nên $\sqrt{962}<\sqrt{1023}$. Do đó, $\frac{1}{\sqrt{962}}$ > $\frac{1}{\sqrt{1023}}$

Nên 31 + $\frac{1}{\sqrt{962}}$ > 31 + $\frac{1}{\sqrt{1023}}$

Hay $\sqrt{961}+\frac{1}{\sqrt{962}}$ > $\sqrt{1024}+\frac{1}{\sqrt{1023}}-1$

Vậy a > b.

a = 1 + $\sqrt{2}$ = 2,414213562…

a) Ta gạch chân dưới chữ số hàng phần trăm 2,414213562…

Nhận thấy chữ số bên phải liền kề hàng phần trăm là 4 < 5 nên ta giữ nguyên chữ số hàng phần trăm và bỏ đi các chữ phần thập phân phía sau hàng phân trăm.

Vậy làm tròn số 1 + $\sqrt{2}$ đến hàng phần trăm ta thu được kết quả là 2,41.

b) Ta gạch chân dưới chữ số thập phân thứ năm 2,414213562…

Nhận thấy chữ số bên phải liền kề chữ số thập phân thứ năm là 3 < 5 nên ta giữ nguyên chữ số thập phân thứ năm và bỏ đi các chữ phần thập phân phía sau chữ số thập phân thứ 5.

Vậy làm tròn số 1 + $\sqrt{2}$ đến chữ số thập phân thứ năm ta thu được kết quả là 2,41421.

c) Làm tròn số a với độ chính xác 0,0005 tức là ta làm tròn số đó đến hàng phần nghìn.

Ta gạch chân dưới chữ số hàng phần nghìn 2,414213562…

Nhận thấy chữ số bên phải liền kề chữ số hàng phần nghìn là 2 < 5 nên ta giữ nguyên chữ số hàng phần nghìn và bỏ đi các chữ phần thập phân phía sau chữ số hàng phân nghìn.

Vậy làm tròn số 1 + $\sqrt{2}$ đến chữ số hàng phần nghìn ta thu được kết quả là 2,414.

Điều kiện: x – 6 $\ge$0 nên x $\ge$ 6

Vì $\sqrt{x-6}\ge 0$  nên $-\sqrt{x-6}\le 0$ với mọi x $\ge$ 6

Nên $3+\text{}\left(-\sqrt{x-6}\right)\le 3+0$ hay $3-\sqrt{x-6}\le 3+0$ . Do đó, $3-\sqrt{x-6}\le 3$

Vậy giá trị lớn nhất của $3-\sqrt{x-6}$ là 3. Dấu “=” xảy ra khi x – 6 = 0 hay x = 6.

Điều kiện: 2 – x $\ge 0$ nên $x\le 2$.

Ta có: $\sqrt{2-x}\ge 0$ với mọi $x\le 2$ 

Nên $3+\sqrt{2-x}\ge 3+0$ hay $3+\sqrt{2-x}\ge 3$.

Do đó, $\frac{4}{3+\sqrt{2-x}}\le \frac{4}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của $\frac{4}{3+\sqrt{2-x}}$ là $\frac{4}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi $3+\sqrt{2-x}=3$ hay $\sqrt{2-x}=0$ nên x = 2. Do đó, $\frac{4}{3+\sqrt{2-x}}$ có giá trị lớn nhất là $\frac{4}{3}$  khi x = 2.

Vì $x=\frac{\sqrt{n}-1}{2}$ là số nguyên nên $\sqrt{n}-1$ phải chia hết cho 2 và $\sqrt{n}$ cũng là số nguyên hay n là các số chính phương. Mà n < 45 nên ta có các số chính phương nhỏ hơn 45 là {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36}.

Vì $\sqrt{n}-1$ chia hết cho 2 nên $\sqrt{n}$ là số lẻ nên n lẻ. Do đó, n $\in${1; 9; 25}

Vậy để $x=\frac{\sqrt{n}-1}{2}$ là số nguyên thì n $\in${1; 9; 25}.