Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 2. Công thức lượng giác
-
215 lượt thi
-
6 câu hỏi
-
0 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
17/06/2026
Xem đáp án
Lời giải
cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°
\( = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\).
sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}\).
Do đó, \(\tan 105^\circ = \frac{{\sin 105^\circ }}{{\cos 105^\circ }} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }},\,\,\cot 105^\circ = \frac{1}{{\tan 105^\circ }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}\).
Câu 2:
17/06/2026Cho cos 2x = \( - \frac{4}{5}\) với \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\).
Tính sin x, cos x, \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\), \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Vì \(\frac{\pi }{4}\) < x < \(\frac{\pi }{2}\) nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có
\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{9}{{10}}\) ⇒ sin x = \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 + \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{1}{{10}}\) ⇒ cos x = \(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = \(2.\frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).
Theo công thức cộng, ta có
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}\).
\[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = \left( { - \frac{4}{5}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\].
Câu 3:
17/06/2026Chứng minh đẳng thức sau
\({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).
Xem đáp án
*Lời giải:
sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a)2 – 2sin2 a cos2 a = 1 – 2 . (sin a cos a)2
= \(1 - 2.{\left( {\frac{{\sin 2a}}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a\)\( = 1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4a}}{2} = 1 - \frac{{1 - \cos 4a}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).
Vậy \({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).
*Phương pháp giải:
áp dụng các công thức biến đổi lượng giác cơ bản để biến đổi
*Lý thuyết nắm thêm về công thức lượng giác
1. Công thức cộng
2. Công thức nhân đôi
Suy ra, công thức hạ bậc:
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:
Câu 4:
17/06/2026Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\);
b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.
Xem đáp án
Lời giải
a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\)
\( = \left( {\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)
\( = 2\sin \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{7\pi }}{9}}}{2}.\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{7\pi }}{9}}}{2} - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)
\( = 2\sin \frac{{4\pi }}{9}.\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)
\( = \sin \frac{{4\pi }}{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)
\( = \sin \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)
\( = \sin \frac{{5\pi }}{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} = 0\).
Vậy A = 0.
b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên
B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.
Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:
cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°
= \(\frac{1}{2}\sin 12^\circ \) cos 12° cos 24° cos 48°
= \(\frac{1}{4}\) sin 24° cos 24° cos 48°
= \(\frac{1}{8}\) sin 48° cos 48°
= \(\frac{1}{{16}}\)sin 96°
= \(\frac{1}{{16}}\)sin(90° + 6°) = \(\frac{1}{{16}}\)cos 6°.
Vậy B = \(\frac{1}{{16}}\).
Câu 5:
17/06/2026Chứng minh rằng:
a) \(\cos a - \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
a) \(VP = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos a\cos \frac{\pi }{4} - \sin a\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos a - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin a} \right)\)
\( = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos a - \sin a} \right) = \cos a - \sin a = VT\).
b) \(VP = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right) = 2\left( {\sin a\cos \frac{\pi }{3} + \cos a\sin \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( = 2\left( {\frac{1}{2}\sin a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos a} \right)\)\( = \sin a + \sqrt 3 \cos a = VT\).
Câu 6:
17/06/2026Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
sin A + sin B + sin C = \(4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).
Xem đáp án
Lời giải
\(VT = \sin A + \sin B + \sin C\)\( = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\).
Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên \(\frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\).
Từ đó suy ra: \(\sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{C}{2},\,\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{{A + B}}{2}\).
Vậy \(VT = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{C}{2}\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right)\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{{\frac{{A - B}}{2} + \frac{{A + B}}{2}}}{2}\cos \frac{{\frac{{A - B}}{2} - \frac{{A + B}}{2}}}{2}\)
\( = 4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left( { - \frac{B}{2}} \right)\)
\( = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = VP\) (điều phải chứng minh).