29 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SBT Toán 11 CTST Bài tập cuối chương VII

Cho hàm số y = x³ + 3x² ‒ 2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(‒1; ‒6) có hệ số góc bằng:

A. 18.

B. ‒3.

C. 7.

D. 9.

Đáp án đúng là: B

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x$ .

Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(‒1; ‒6) có hệ số góc bằng $y^{'} (- 1) = - 3$ .

Câu 2:

Hàm số y = x³ ‒ 3x + 1 có đạo hàm tại x = ‒1 bằng

A. 0.

B. 6.

C. ‒6.

D. ‒1.

Đáp án đúng là: A

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3$ .

$y^{'} (- 1) = 0$ .

Câu 3:

Cho hai hàm số f(x) = 3x³ ‒ 3x² + 6x ‒ 1 và g(x) = x³ + x² ‒ 2. Bất phương trình $f^{''} (x) - f^{'} (x) + g^{'} (x) - 8 \geq 0$ có tập nghiệm là

Ta có:

• $f^{'} (x) = 9 x^{2} - 6 x + 6$

• $f^{''} (x) = 18 x - 6$

• $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Từ đó $f^{''} (x) - f^{'} (x) + g^{'} (x) - 8 \geq 0$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 18 x - 6 - (9 x^{2} - 6 x + 6) + 3 x^{2} + 2 x - 8 \geq 0 \\ \Leftrightarrow - 6 x^{2} + 26 x - 20 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 1 \leq x \leq \frac{10}{3} \end{array}

Vậy bất phương trình $f^{''} (x) - f^{'} (x) + g^{'} (x) - 8 \geq 0$ có tập nghiệm là $[1; \frac{10}{3}]$ .

Câu 4:

23/07/2024

Hàm số $y = \frac{2 x - 1}{3 x + 2}$ có đạo hàm là

có đạo hàm cấp hai tại x = 1 là

$y^{'} = \frac{{(2 x - 1)}^{'} (3 x + 2) - (2 x - 1) {(3 x + 2)}^{'}}{{(3 x + 2)}^{2}} = \frac{7}{{(3 x + 2)}^{2}}$ .

Câu 5:

15/07/2024

Hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 1}

Ta có

$y^{'} = \frac{{(x - 1)}^{'} (x + 1) - (x - 1) {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

$y^{''} = - \frac{2 {[{(x + 1)}^{2}]}^{'}}{{(x + 1)}^{2}} = - \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$ .

Vậy $y^{''} (1) = - \frac{4}{{(1 + 1)}^{3}} = - \frac{1}{2}$

Câu 6:

20/07/2024

Hàm số $y = 3^{x^{2} + 1}$ có đạo hàm là

Ta có $y^{'} = 3^{x^{2} + 1} \ln 3.2 x = 2 x 3^{x^{2} + 1} \ln 3$ .

Câu 7:

Hàm số y = ln (cos x) có đạo hàm là.

$y^{'} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x$

Câu 8:

17/07/2024

Hàm số $f (x) = e^{\sqrt{x^{2} + 4}}$ có đạo hàm tại x = 1 bằng.

Ta có $f^{'} (x) = e^{\sqrt{x^{2} + 4}} . \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 4}} = \frac{x e^{\sqrt{x^{2} + 4}}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

Vậy $f^{'} (1) = \frac{e^{\sqrt{1^{2} + 4}}}{\sqrt{1^{2} + 4}} = \frac{e^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$ .

Câu 9:

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ tại x = 2;

a) Với $x_{0} \geq - \frac{1}{4}$ , ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{4 (\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1})}{(4 x + 1) - (4 x_{0} + 1)}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{4 (\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1})}{(\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1}) (\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 x_{0} + 1})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{4}{(\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 x_{0} + 1})}$

$= \frac{4}{2 \sqrt{4 x_{0} + 1}}$ .

Vậy $y^{'} (2) = \frac{4}{2 \sqrt{4.2 + 1}} = \frac{2}{3}$ .

Câu 10:

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $f (x) = x^{4}$ tại x = ‒1;

b) Với $x_{0} \in$ ℝ, ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{4} - {x_{0}}^{4}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{4} - {x_{0}}^{4}}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x^{2} - {x_{0}}^{2}) (x^{2} + {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x + x_{0}) (x^{2} + {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (x + x_{0}) (x^{2} + {x_{0}}^{2}) = 2 x_{0} .2 {x_{0}}^{2} = 4 {x_{0}}^{3}$

Vậy $y^{'} (- 1) = 4. {(- 1)}^{3} = - 4$ .

Câu 11:

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ;

c) Với $x_{0} \neq - 1$ , ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x_{0} + 1}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x_{0} + 1}}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x_{0} + 1) - (x + 1)}{(x - x_{0}) (x + 1) (x_{0} + 1)}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0} - x}{(x - x_{0}) (x + 1) (x_{0} + 1)} = = \lim_{x \to x_{0}} - \frac{1}{(x + 1) (x_{0} + 1)}$

$= - \frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}}$ .

Vậy $y^{'} (x) = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \neq - 1) .$

Câu 12:

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

d) $f (x) = \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

d) Với $x_{0} \in$ ℝ, ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{(x - x_{0}) (x + x_{0})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{x^{2} - x_{0}^{2}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{(x^{2} + 1) - (x_{0}^{2} + 1)}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{(\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1}) [\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{x^{2} + 1} \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1} + \sqrt[3]{{(x_{0}^{2} + 1)}^{2}}]}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{x + x_{0}}{\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{x^{2} + 1} \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1} + \sqrt[3]{{(x_{0}^{2} + 1)}^{2}}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{2 x_{0}}{3 \sqrt[3]{{(x_{0}^{2} + 1)}^{2}}}$ .

Vậy $y^{'} (x) = \frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}}$ ( $x \in$ ℝ).

Câu 13:

Cho hàm số f(x) = 2x³ – x² + 2x +1 có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Gọi tiếp tuyến là d và tiếp điểm M(x₀, f(x₀)).

Ta có $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x + 2 = 6 {(x - \frac{1}{6})}^{2} + \frac{11}{6} \geq \frac{11}{6}$ .

Vậy hệ số góc của d nhỏ nhất bằng $\frac{11}{6}$ khi $x_{0} = \frac{1}{6}$ .

Phương trình đường tiếp tuyến d:

$y - f (\frac{1}{6}) = f^{'} (\frac{1}{6}) (x - \frac{1}{6})$

$\Leftrightarrow y - \frac{71}{54} = \frac{11}{6} (x - \frac{1}{6})$

$\Leftrightarrow y = \frac{11}{6} x + \frac{109}{108}$

Vậy tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất là d: $y = \frac{11}{6} x + \frac{109}{108}$ .

Câu 14:

Vị trí chuyển động của một vật trên đường thẳng được biểu diễn bởi công thức $s (t) = 3 t^{3} + 5 t + 2$ , trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật đó khi t = 1.

Ta có $s^{'} (t) = 9 t^{2} + 5$ nên ${s^{'}}^{'} (t) = 18 t$ .

$s^{'} (1) = {9.1}^{2} + 5 = 14$ (m/s)

$s^{''} (1) = 18.1 = 18$ (m/s²)

Vậy khi t = 1, vận tốc và gia tốc của vật đó lần lượt bằng 14 m/s và 18 m/s².

Câu 15:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{x} (x^{2} - \sqrt{x} + 1)$ ;

a) $y^{'} = {(\sqrt{x})}^{'} (x^{2} - \sqrt{x} + 1) + \sqrt{x} {(x^{2} - \sqrt{x} + 1)}^{'}$

$= \frac{(x^{2} - \sqrt{x} + 1)}{2 \sqrt{x}} + \sqrt{x} (2 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})$

$= \frac{x \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 2 x \sqrt{x} - \frac{1}{2}$

$= \frac{5}{2} x \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} - 1$ .

Câu 16:

12/07/2024

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 1}$ ;

b) $y^{'} = \frac{{(x^{2} - 3 x + 1)}^{'}}{{(x^{2} - 3 x + 1)}^{2}}$

$= \frac{2 x - 3}{{(x^{2} - 3 x + 1)}^{2}}$ .

Câu 17:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) $y = \frac{2 x + 3}{3 x + 2}$ .

c, $y^{'} = \frac{{(2 x + 3)}^{'} (3 x + 2) - (2 x + 3) {(3 x + 2)}^{'}}{{(3 x + 2)}^{2}}$

$= \frac{2 (3 x + 2) + (2 x + 3) 3}{{(3 x + 2)}^{2}} = - \frac{5}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Câu 18:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x \sin x}{1 - \tan x}$ ;

a, $y^{'} = \frac{(x \sin x)' (1 - \tan x) + (x \sin x) {(1 - \tan x)}^{'}}{{(1 - \tan x)}^{2}}$

$= \frac{(\sin x + x \cos x) (1 - \tan x) + (x \sin x) (- \frac{1}{\cos^{2} x})}{{(1 - \tan x)}^{2}} = \frac{\sin x + x \cos x - \sin x \tan x - x \sin x + \frac{x \sin x}{\cos^{2} x}}{{(1 - \tan x)}^{2}} = \frac{\sin x + x \cos x - \sin x \tan x + x \sin x (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} x})}{{(1 - \tan x)}^{2}}$

$= \frac{\sin x + x \cos x - \sin x \tan x + x \sin x \frac{1 - \cos^{2} x}{\cos^{2} x}}{{(1 - \tan x)}^{2}} = \frac{\sin x + x \cos x - \sin x \tan x + x \sin x \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}}{{(1 - \tan x)}^{2}} = \frac{\sin x + x \cos x - \sin x \tan x + x \sin x \tan^{2} x}{{(1 - \tan x)}^{2}}$

Câu 19:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y = \cos \sqrt{x^{2} - x + 1}$ ;

b) $y^{'} = - \sin \sqrt{x^{2} - x + 1} . {(\sqrt{x^{2} - x + 1})}^{'}$

$= - \sin \sqrt{x^{2} - x + 1} . \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}} . {(x^{2} - x + 1)}^{'}$

$= - \frac{\sin \sqrt{x^{2} - x + 1}}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}} . (2 x - 1)$

$= - \frac{(2 x - 1) \sin \sqrt{x^{2} - x + 1}}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}$ .

Câu 20:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y = sin²3x;

c) $y^{'} = 2 s i n 3 x . {(\sin 3 x)}^{'} = 2 s i n 3 x . \cos 3 x .3$

$= 3 \sin 6 x$ .

Câu 21:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

d) y = cos²(cos3x).

d) $y = c o s^{2} (c o s 3 x) = 2 \cos (\cos 3 x) . {(\cos (\cos 3 x))}^{'}$

$= 2 \cos (\cos 3 x) . (- \sin (\cos 3 x)) . {(\cos 3 x)}^{'}$

$= - 2 \cos (\cos 3 x) . \sin (\cos 3 x) . (- \sin 3 x) .3$

$= 3 \sin 3 x \sin (2 \cos 3 x)$ .

Câu 22:

Tính đạo hàm của các hàm số sau biết rằng f và g là các hàm số có đạo hàm trên ℝ:

a) y = f(x³);

a) $y^{'} = f^{'} (x^{3}) . {(x^{3})}^{'} = 3 x^{2} f^{'} (x^{3})$ .

Câu 23:

Tính đạo hàm của các hàm số sau biết rằng f và g là các hàm số có đạo hàm trên ℝ:

b) $y = \sqrt{f^{2} (x) + g^{2} (x)}$ .

b) $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{f^{2} (x) + g^{2} (x)}} . {(f^{2} (x) + g^{2} (x))}^{'}$

$= \frac{(2 f (x) f^{'} (x) + 2 g (x) g^{'} (x))}{2 \sqrt{f^{2} (x) + g^{2} (x)}}$

$= \frac{f (x) f^{'} (x) + g (x) g^{'} (x)}{\sqrt{f^{2} (x) + g^{2} (x)}}$ .

Câu 24:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - m x - 5$ . Tìm m để

a) $f^{'} (x) = 0$ có nghiệm kép.

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x - m$

$Δ = \frac{4^{2} - 4.3. (- m)}{2.4} = \frac{16 + 12 m}{8} = \frac{4 + 3 m}{2}$ .

a) $f^{'} (x) = 0$ có nghiệm kép khi $Δ = \frac{4 + 3 m}{2} = 0$ hay $m = - \frac{4}{3}$ .

Câu 25:

b) $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi x.

b) $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi x khi $Δ = \frac{4 + 3 m}{2} \geq 0$ hay $m \leq - \frac{4}{3}$ .

Câu 26:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 8}$ . Giải phương trình $f^{'} (x) = - \frac{2}{3}$ .

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 8}} . {(x^{2} - 2 x + 8)}^{'}$

$= \frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 8}} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 8}}$ .

$f^{'} (x) = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 8}} = - \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 8} = - 3 (x - 1) (x < 1)$

$\Leftrightarrow 4 (x^{2} - 2 x + 8) = 9 {(x - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 (x^{2} - 2 x + 8) = 9 (x^{2} - 2 x + 1)$

$\Leftrightarrow 5 x^{2} - 10 x - 23 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{5 + 2 \sqrt{35}}{5}$ (loại); $x = \frac{5 - 2 \sqrt{35}}{5}$ (nhận).

Vậy $x = \frac{5 - 2 \sqrt{35}}{5}$ .

Câu 27:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ ;

a, $y^{'} = \frac{(x + 2) - (x - 1)}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} y^{''} = \frac{3. (- 2)}{{(x + 2)}^{3}} = - \frac{6}{{(x + 2)}^{3}}$

Câu 28:

20/07/2024

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

b) $y = \sqrt{3 x + 2}$ ;

b, $y = \sqrt{3 x + 2} = \frac{{(3 x + 2)}^{'}}{2 \sqrt{3 x + 2}} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 2}}$

$y^{''} = \frac{3. (- \frac{1}{2}) . {(3 x + 2)}^{'}}{2 \sqrt{{(3 x + 2)}^{3}}} = - \frac{3.3}{4 \sqrt{{(3 x + 2)}^{3}}}$

$= - \frac{9}{4 \sqrt{{(3 x + 2)}^{3}}}$

Câu 29:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

c) y = xe^2x.