a) Ta có $9-x^2=\left(3-x\right)\left(3+x\right).$

$2-\frac{x+5}{3+x}=\frac{2\left(3+x\right)-\left(x+5\right)}{3+x}=\frac{6+2x-x-5}{3+x}=\frac{x+1}{x+3}.$

Điều kiện xác định của biểu thức A là

$\left\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ x-3\ne 0\\ 9-x^2\ne 0\\ 2-\frac{x+5}{3+x}\ne 0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ x-3\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.,$ tức là $\left\{\begin{array}{l}x\ne -3\\ x\ne 3\\ x\ne -1\end{array}\right..$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là $x\ne -\mathrm{3,}x\ne 3$ và $x\ne -1.$

Với $x^2-x-2=0$ ta có $x^2-2x+x-2=0$

$x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0$

$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$

Suy ra $x-2=0$ hoặc $x+1=0$

$x=2$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x=-1$ (không thỏa mãn điều kiện)

Thay $x=2$ vào biểu thức $A=\frac{-5}{x-3}$ ta được: $A=\frac{-5}{2-3}=\frac{-5}{-1}=5.$

Vậy nếu $x^2-x-2=0$ thì $A=5.$

b) ${\left(x-3\right)}^3-2\left(x-1\right)=x{\left(x-2\right)}^2-5x^2$

$x^3-9x^2+27x-27-2x+2=x\left(x^2-4x+4\right)-5x^2$

$x^3-9x^2+25x-25=x^3-4x^2+4x-5x^2$

$21x=25$

$x=\frac{25}{21}$

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là x (m) (x > 0)

Chu vi của hình vuông nhỏ là 4x (m).

Do hiệu số đo chu vi của hai hình vuông bằng 20 m nên chu vi của hình vuông lớn là 4x + 20 (m).

Khi đó, cạnh của hình vuông lớn là: $\frac{4x+20}{4}=\frac{4\left(x+5\right)}{4}=x+5$ (m).

Diện tích của hình vuông nhỏ là $x^2$ (m²) và diện tích của hình vuông lớn là ${\left(x+5\right)}^2$ (m²).

Vì hiệu số đo diện tích của chúng bằng $65 {\text{m}}^2$ nên ta có phương trình:

Vậy cạnh của hình vuông nhỏ và lớn lần lượt là: 4 m và 9 m.

Hình vẽ trên mô tả bậc tam cấp.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại A theo định lí Pythagore ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Suy ra $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2={85}^2-{35}^2=6000.$

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực nên $OM\perp AB.$

Lại có $AH\perp BC$ (H là trực tâm) nên AH // OM.

Tương tự, BH // ON.

Do đó $\widehat{MON}=\widehat{AHB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác BAC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $MN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AB,$ $MN=\frac{1}{2}AB.$

Suy ra $\widehat{OMN}=\widehat{HAB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét $\Delta OMN$ và $\Delta HAB$ có:

$\widehat{MON}=\widehat{AHB}$ và $\widehat{OMN}=\widehat{HAB}$ 

Do đó $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (g.g).

b) Vì $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (câu a) nên $\frac{OM}{HA}=\frac{NO}{HB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$ (tỉ số cạnh tương ứng) (1)

Vì G là trọng tâm của $\Delta ABC,$ AM là trung tuyến nên $\frac{AG}{GM}=\mathrm{2,}$ hay $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$  (2)

Từ (1); (2) suy ra $\frac{GM}{AG}=\frac{OM}{AH}.$

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta GHA$ có:

$\frac{GM}{AG}=\frac{OM}{AH}$ và $\widehat{OMG}=\widehat{HAG}$ (so le trong của $AH\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}OM)$

Do đó $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (c.g.c).

c) Vì $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (câu b) nên $\widehat{OGM}=\widehat{HGA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{HGM}+\widehat{HGA}=180°$ (kề bù) nên $\widehat{HGM}+\widehat{OGM}=180°.$ 

Do đó 3 điểm O; G; H thẳng hàng.

Mặt khác, $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ nên $\frac{GO}{GH}=\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2},$ suy ra $GH=2GO.$

Ta có: $A=\frac{1}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{b\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{c\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

$=\frac{bc\left(b-c\right)-ac\left(a-c\right)+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}$

$=\frac{bc\left(b-c\right)-ac\left(a-c\right)+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}$

$=\frac{c\left(b^2-bc-a^2+ac\right)+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}$

$=\frac{c\left[\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(b-a\right)\right]+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}$

$=\frac{\left(b-a\right)\left(ac+bc-c^2\right)+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}$ 

$=\frac{\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}$

$=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}$

$=\frac{1}{abc}.$

Vậy $A=\frac{1}{abc}.$