50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 10)

Đặt $t = \sqrt{2 x - 1} \Rightarrow I = \int t d (\frac{t^{2} + 1}{2}) = \int t . t d t = \frac{t^{3}}{3} + C \Rightarrow F (x) = \frac{1}{3} \sqrt{{(2 x - 1)}^{3}} + C .$

Mà

F (1) = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{3} + C = \frac{4}{3} \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F (x) = \frac{1}{3} \sqrt{{(2 x - 1)}^{2}} + 1.

Câu 27:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh

S A = a \sqrt{2}

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{a}{3} .$

D. a

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$ , kẻ $A H ⊥ S O \Rightarrow d (A; (S B D)) = A H = d .$

Cạnh $O A = \frac{A B}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{O A^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} \Rightarrow d = a .$

Câu 28:

17/06/2026

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 1 và

f^{'} (x) = 2 \sin^{2} x - 3, \forall x \in ℝ .

Tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x

bằng

A. $\frac{π^{2} - 4 π + 4}{16} .$

B. $- \frac{π^{2} - 4 π + 4}{16} .$

C. $\frac{π^{2} + 4 π - 4}{16} .$

D. $- \frac{π^{2} + 4 π - 4}{16} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (x) = \int (2 \sin^{2} x - 3) d x = \int (1 - \cos 2 x - 3) d x = - \frac{\sin 2 x}{2} - 2 x + C .$

Mà $f (0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{2} \sin 2 x - 2 x + 1.$

$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (- \frac{1}{2} \sin 2 x - 2 x + 1) d x = (\frac{1}{4} \cos 2 x - x^{2} + x) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} \frac{π}{4} \end{array}}$ $= - \frac{π^{2}}{16} + \frac{π}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{π^{2} - 4 π + 4}{16} .$

Câu 29:

17/06/2026

Cho số phức z thỏa mãn $z + 4 \bar{z} = 7 + i (z - 7) .$ Môđun của z bằng

A. 5

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{5}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $z = a + b i (a, b \in ℝ)$

Ta có $z + 4 \bar{z} = 7 + i (z - 7) \Leftrightarrow a + b i + 4 (a - b i) = 7 + i (a + b i - 7)$

$\Leftrightarrow a + b i + 4 a - 4 b i = 7 + a i - b - 7 i \Leftrightarrow 5 a - 3 b i = 7 - b + (a - 7) i$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 a = 7 - b \\ - 3 b = a - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5} .

Câu 30:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; - 2; 1)

và

B (2; 1; - 1)

. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

A. $x + 3 y + 2 z + 3 = 0.$

B. $x - 3 y + 2 z - 9 = 0.$

C. $x + 3 y - 2 z + 7 = 0.$

D. $x - 3 y - 2 z - 5 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt phẳng (P) qua $A (1; - 2; 1)$ và nhận $\vec{A B} = (1; 3; - 2)$ là một VTPT

\Rightarrow (P) : 1. (x - 1) + 3 (y + 2) - 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 3 y - 2 z + 7 = 0.

Câu 31:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

A B = S A = a, A C = a \sqrt{5} .

Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{a^{3}}{3} .$

B. $\frac{a^{3}}{2} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{3} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh SA (ảnh 1)

Ta có $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} . A B . B C .$

Cạnh $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 2 a \Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{a^{3}}{3} .$

Câu 32:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận (ảnh 1)

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

ĐTHS có tiệm cận đứng $x = - 2.$

Từ

\{\begin{cases} \lim_{x \to - \infty} y = 2 \Rightarrow T C N : y = 2 \\ \lim_{x \to + \infty} y = 2 \Rightarrow T C N : y = 2 \end{cases}

.

Câu 33:

17/06/2026

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD với $A B = 6, A D = 3.$ Tính thể tích V của khối trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB.

A. $54 π .$

B. $48 π .$

C. $75 π .$

D. $36 π .$

Xem đáp án

Đáp án A

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD với AB= 6, AD= 3 (ảnh 1)

Ta có

V = π r^{2} h = π . A D^{2} . A B = 54 π .

Câu 34:

17/06/2026

Cho hàm số f(x). Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hàm số f(x) Hàm số y= f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm (ảnh 1)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 0; x = 1; x = 2; x = 4.$

Qua $x = 0; x = 1; x = 4$ thì f '(x) đổi dấu trên f(x) đạt cực trị tại $x = 0; x = 1; x = 4.$

Câu 35:

17/06/2026

Cho phương trình

4^{x} - m {.2}^{x + 1} + 2 m = 0

(m là tham số thực) có hai nghiệm thực phân biệt

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} + x_{2} = 4.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $4 < m \leq 6.$

B. $m > 6.$

C. $2 < m \leq 4.$

D. $0 < m \leq 2.$

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $x \in ℝ (*) .$ Phương trình $\Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - 2 m {.2}^{x} + 2 m = 0.$

Đặt $t = 2^{x} > 0,$ ta được $t^{2} - 2 m t + 2 m = 0$ (1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt

$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm thực dương phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = m^{2} - 2 m > 0 \\ t_{1} + t_{2} = 2 m > 0 \\ t_{1} t_{2} = 2 m > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} m (m - 2) > 0 \\ m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2 (* *)$ Ta có $x_{1} + x_{2} = \log_{2} t_{1} + \log_{2} t_{2} = \log_{2} (t_{1} t_{2}) = \log_{2} (2 m) = 4 \Rightarrow m = 8$ thỏa mãn $(* *) .$

Câu 36:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng $(P) : x - y + z = 0$ và $(Q) : x + y - z - 2 = 0.$

A. $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{1} .$

B. $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1} .$

C. $d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - t \\ z = 1 + t \end{cases} (t \in ℝ) .$

D. $d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Cho $z = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \Rightarrow d$ qua $A (1; 1; 0) .$

Cho $z = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow d$ qua $B (1; 2; 1) .$

Đường thẳng d qua $A (1; 1; 0)$ và nhận $\vec{A B} = (0; 1; 1)$ là một VTCP

$\Rightarrow d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ) .$

Câu 37:

17/06/2026

Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng đựng dầu nhớ hình trụ có nắp đậy với dung tích là

3456 π d m^{3} .

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì bán kính của nắp đậy phải bằng

A. 24 dm

B. 20 dm

C. 12 dm

D. 10 dm

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $V = π r^{2} h = 3456 π .$

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì $S_{t p} = 2 π r (h + r)$ phải nhỏ nhất.

Ta có $S_{t p} = 2 π r (\frac{3456}{r^{2}} + r) = 2 π (r^{2} + \frac{3456}{r})$

$= 2 π (r^{2} + \frac{1728}{r} + \frac{1728}{r}) \geq 2 π .3 \sqrt[3]{r^{2} . \frac{1728}{r} . \frac{1728}{r}} = 864 d m^{2} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow r^{2} = \frac{1728}{r} \Leftrightarrow r = 12 d m .$

Câu 38:

17/06/2026

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của f '(x) như sau:

Hàm số y = f (2x - 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 1) .$

B. $(\frac{1}{2}; 1) .$

C. $(1; + \infty) .$

D. $(- 1; \frac{1}{2}) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} = 2 f^{'} (2 x - 1) > 0 \Leftrightarrow f^{'} (2 x - 1) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < 2 x - 1 < 0 \\ 2 x - 1 > 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 < x < \frac{1}{2} \\ x > 1 \end{array}$

Câu 39:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x + 2 y - 2 z + 3 = 0

và ba điểm

A (4; - 4; 4), B (4; - 2; 6), C (3; - 5; 7) .

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), đi qua điểm C và có tâm nằm trên đường thẳng AB. Tâm I của mặt cầu (S) có tọa độ là

A. $(- 4; - 3; 5) .$

B. $(4; - 3; 5) .$

C. $(4; 3; 5) .$

D. $(4; 3; - 5) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\vec{A B} = (0; 2; 2) \Rightarrow A B : \{\begin{cases} x = 4 \\ y = - 4 + t \\ z = 4 + t \end{cases} .$ Do $I \in A B \Rightarrow I (4; - 4 + t; 4 + t)$

Ta có $d (I, (P)) = I C \Leftrightarrow \frac{|- 9|}{3} = \sqrt{1^{2} + {(t + 1)}^{2} + {(t - 3)}^{2}} \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I (4; - 3; 5) .$

Câu 40:

17/06/2026

Cho hình nón (N) có đường cao bằng

\frac{3 a}{2}

đáy của (N) có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của (N) là một tam giác nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng

60 ° .

Tính theo a diện tích S của tam giác này

A. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3} .$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

C. $S = \frac{3 a^{2}}{2} .$

D. $S = \frac{3 a^{2}}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình nón (N) có đường cao bằng 3a/2, đáy của (N) có bán kính (ảnh 1)

Thiết diện qua đỉnh của (N) là $Δ S C D$ như hình vẽ.

Kẻ $O P ⊥ C D \Rightarrow (\hat{(S C D); (O C D)}) = \hat{S P O} = 60 °$

$\Rightarrow \tan 60 ° = \frac{S O}{O P} \Rightarrow O P = \frac{S O}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow C P = \sqrt{O C^{2} - O P^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2} \Rightarrow C D = 2 C P = a .$

Lại có $\sin 60 ° = \frac{S O}{S P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow S P = \frac{2 S O}{\sqrt{3}} = a \sqrt{3} .$

Từ $C D ⊥ S P \Rightarrow S_{S C D} = \frac{1}{2} C D . S P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Câu 41:

17/06/2026

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 7 và chia hết cho 5.

A. $\frac{1}{81}$

B. $\frac{1}{100}$

C. $\frac{1}{63}$

D. $\frac{2}{225}$

Xem đáp án

Đáp án B

Có tất cả $9.10.10 = 900$ số tự nhiên có 3 chữ số.

Số cần tìm có dạng $\bar{a b c} \Rightarrow [\begin{array}{l} c = 0 \\ c = 5 \end{array}$

+ TH1. $c = 0 \Rightarrow a + b = 7 \Rightarrow (a; b) \in \{(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (7; 0)\}$

Nên có 7 số thỏa mãn.

+ TH2. $c = 5 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow (a; b) \in \{(1; 1), (2; 0)\} .$

Nên có 2 số thỏa mãn.

Do đó có tất cả 9 số thỏa mãn. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{9}{900} = \frac{1}{100} .$

Câu 42:

17/06/2026

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$ .

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (0;1)

B. (1;2)

C. (2;3)

D. (3;4)

Xem đáp án

Đáp án A

ĐKXĐ: $2020 - 2 b^{2} > 0 \Leftrightarrow b^{2} < 1010 \Leftrightarrow - \sqrt{1010} < b < \sqrt{1010}$

+ Theo đề bài ra, ta có:

$\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow 1 + \log_{2} (1010 - b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow \log_{2} (1010 - b^{2}) + 1010 - b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2} + b^{2} + 1009 (1)$

Xét hàm số sau: $f (t) = \log_{2} t + t (t > 0)$

Ta thấy: $f^{'} (t) = \frac{1}{t . \ln 2} + 1 > 0,$ suy ra hàm số $f (t) = \log_{2} t + t$ đồng biến trên $(0; + \infty)$

Do đó:

$(1) \Leftrightarrow 1010 - b^{2} = a^{2} + b^{2} + 1009$

$\Leftrightarrow a^{2} + 2 b^{2} = 1$

+ Khi đó: $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1 = (a + b) (a^{2} + 2 b^{2}) + 1 = a + b + 1$

Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\{a; \sqrt{2} b\}$ và $\{1; \frac{1}{\sqrt{2}}\},$ ta có:

{(a + b)}^{2} \leq (a^{2} + 2 b^{2}) (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

(Dấu “=” xảy ra khi )

$\Rightarrow - \sqrt{\frac{3}{2}} \leq a + b \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Do đó: $P = a + b + 1 \leq \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$

Suy ra: $M i n P = \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$ khi $a = \frac{\sqrt{6}}{3}, b = \frac{\sqrt{6}}{6} .$

Câu 43:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ

Cho hàm số y= f(x) liên tục, có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = 3 f (- 2 x + 1) - 8 x^{3} + 6 x$ đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x = 1

B. x = $- \frac{1}{2}$

C. x = $\frac{1}{2}$

D. x = -1

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 44:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f '(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình $f (x) > 2^{x} + m$ có nghiệm với mọi $x \in (- 1; 1)$ khi và chỉ khi

A. $m < f (1) - 2.$

B. $m \leq f (1) - 2.$

C. $m \leq f (- 1) - \frac{1}{2} .$

D. $m < (- 1) - \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $g (x) = f (x) - 2^{x}, x \in (- 1; 1) \Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) - 2^{x} \ln 2.$

Với mọi $x \in (- 1; 1)$ thì $f^{'} (x) < 0 \Rightarrow g^{'} (x) < 0, \forall x \in (- 1; 1)$

$\Rightarrow g (x)$ nghịch biến trên $(- 1; 1) \Rightarrow g (x) < g (- 1) = f (- 1) - \frac{1}{2} .$

Khi đó $m < g (x)$ có nghiệm với mọi $x \in (- 1; 1) \Leftrightarrow m \leq f (- 1) - \frac{1}{2} .$

Câu 45:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + m$ có đồ thị $(C_{m})$ , với m là tham số thực. Giả sử $(C_{m})$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để $S_{1} + S_{2} = S_{3} .$

Cho hàm số y= x^4- 3x^2+ m có đồ thị (Cm), với m là tham số (ảnh 1)

A. $m = - \frac{5}{2} .$

B. $m = - \frac{5}{4} .$

C. $m = \frac{5}{2} .$

D. $m = \frac{5}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\{\begin{cases} S_{3} = S_{1} + S_{2} \\ S_{1} = S_{2} \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{a} |x^{4} - 3 x^{2} + m| d x = \int_{a}^{b} |x^{4} - 3 x^{2} + m| d x$

Cho hàm số y= x^4- 3x^2+ m có đồ thị (Cm), với m là tham số (ảnh 2)

$\Rightarrow \int_{0}^{a} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = - \int_{a}^{b} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x \Rightarrow \int_{0}^{4} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = 0$

$\Rightarrow (\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + m x) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} b \end{array}} = 0 \Rightarrow \frac{b^{5}}{5} - b^{3} + m b = 0 \Rightarrow b^{4} - 5 b^{2} + 5 m = 0.$

Mà $b^{4} - 3 b^{2} + m = 0 \Rightarrow m = 3 b^{2} - b^{4} \Rightarrow b^{4} - 5 b^{2} + 5 (3 b^{2} - b^{4}) = 0$

$\Rightarrow 10 b^{2} - 4 b^{4} = 0 \Rightarrow b^{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow m = \frac{5}{4} .$

Câu 46:

17/06/2026

Cho phương trình

x^{6} + 6 x^{4} - m^{3} x^{3} + (15 - 3 m^{2}) x^{2} - 6 m x + 10 = 0.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn

[\frac{1}{2}; 2] ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Biến đổi $x^{6} + 6 x^{4} + 15 x^{2} + 10 = m^{3} x^{3} + 3 m^{2} x^{2} + 6 m x$

$\Leftrightarrow {(x^{2} + 2)}^{3} + 3 (x^{2} + 2) = {(m x + 1)}^{3} + (3 m x + 1) \Leftrightarrow g (x^{2} + 2) = g (m x + 1)$

$\Rightarrow m = \frac{x^{2} + 1}{x} = f (x),$ với $x \in [\frac{1}{2}; 2]$

Ta có $\{\begin{cases} x \in (\frac{1}{2}; 2) \\ f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1.$

Tính $f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}; f (2) = \frac{5}{2}; f (1) = 2 \Rightarrow 2 < m \leq \frac{5}{2} .$

Câu 47:

17/06/2026

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = |x^{3} - 3 x^{2} + m|

trên đoạn

[- 2; 2]

bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 18

B. 24

C. 20

D. 22

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 48:

17/06/2026

Giả sử hàm số

y = f (x)

liên tục, đồng biến, nhận giá trị dương trên khoảng

(0; + \infty)

thỏa mãn

f (3) = \frac{4}{9}

và

{[f^{'} (x)]}^{2} = (x + 1) . f (x)

. Giá trị của f(8) là

A. 49

B. 36

C.

5 \sqrt{2}

D. $2 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = \sqrt{(x + 1) . f (x)} \Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} = \sqrt{x + 1}$

$\Rightarrow \int_{3}^{8} \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} d x = \int_{3}^{8} \sqrt{x + 1} d x \Rightarrow \int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{f (x)}} d [f (x)] = \int_{3}^{8} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

$\Rightarrow 2 \sqrt{f (x)} |_{\begin{array}{l} 3 \end{array}}^{\begin{array}{l} 8 \end{array}} = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{3}{2}} \Rightarrow 2 [\sqrt{f (8)} - \sqrt{f (3)}] = \frac{2}{3} \sqrt{(x + 1)} |_{\begin{array}{l} 3 \end{array}}^{\begin{array}{l} 8 \end{array}}$

$\Rightarrow \sqrt{f (8)} - \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{19}{3} \Rightarrow f (8) = 49.$

Câu 49:

17/06/2026

Xét các số phức z thỏa mãn

|z - 1| = 5.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

ω = (2 + 3 i) \bar{z} + 3 + 4 i

là một đường tròn bán kính bằng

A. $5 \sqrt{17}$

B. $5 \sqrt{10}$

C. $5 \sqrt{5}$

D. $2 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử $z = a + b i (a, b \in ℝ) \Rightarrow z - 1 = a - 1 + b i \Rightarrow |z - 1| = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}} = 5.$

Ta có $\bar{z} - 1 = a - b i - 1 = a - 1 - b i \Rightarrow |\bar{z} - 1| = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}} = 5.$

Biến đổi $w = (2 + 3 i) \bar{z} + 3 + 4 i \Leftrightarrow w = (2 + 3 i) (\bar{z} - 1) + (2 + 3 i) + 3 + 4 i .$

$\Leftrightarrow w - (5 + 7 i) = (2 + 3 i) (\bar{z} - 1)$

$\Rightarrow |w - (5 + 7 i)| = |2 + 3 i| . |\bar{z} - 1| = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} .5 = 5 \sqrt{13} .$

Giả sử

$w = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow |x - 5 + (y - 7) i| = 5 \sqrt{13} \Leftrightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = {(5 \sqrt{13})}^{2}$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w = (2 + 3 i) \bar{z} + 3 + 4 i

là đường tròn có tâm

I (5; 7)

và bán kính

R = 5 \sqrt{13} .

Câu 50:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (5; - 3; 2), B (3; 0; - 4)$ nằm về hai phía của mặt phẳng (P). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 4. Mặt phẳng (P) đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?

A. $(- 2; 4; - 1) .$

B. (2;-4;1)

C. (-2;-4;1)

D. (2;-4;-1)

Xem đáp án

Đáp án D

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (5;-3;2), B (3;0;-4) nằm về (ảnh 1)

Kẻ $A H ⊥ (P), B K ⊥ (P),$ với $H, K \in (P) \Rightarrow \{\begin{cases} A H = d (A; (P)) = 3 \\ B K = d (B; (P)) = 4 \end{cases}$

Gọi $M = A B \cap H K,$ ta có:

$A H \leq A M, B K \leq B M \Rightarrow A H + B K \leq A M + B M = A B \Rightarrow A B \geq 3 + 4 = 7$

Mà $\vec{A B} = (- 2; 3; - 6) \Rightarrow A B = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + {(- 6)}^{2}} = 7$

Do đó cần phải có H ở giữa A và B.

Khi đó

$7. \vec{A H} = 3. \vec{A B} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 (x_{H} - 5) = - 6 \\ 7 (y_{H} + 3) = 9 \\ 7 (z_{H} - 2) = - \frac{4}{7} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{H} = \frac{29}{7} \\ y_{H} = - \frac{12}{7} \\ z_{H} = - \frac{4}{7} \end{cases} \Rightarrow H (\frac{29}{7}; - \frac{12}{7}; - \frac{4}{7}) .$

Mặt phẳng (P) qua H và nhận $\vec{A B} = (- 2; 3; - 6)$ là một VTPT

$\Rightarrow (P) : - 2 (x - \frac{29}{7}) + 3 (y + \frac{12}{7}) - 6 (z + \frac{4}{7}) = 0$

$\Leftrightarrow - 2 x + 3 y - 6 z + 10 = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y + 6 z - 10 = 0.$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3