Sau bài học này, chúng ta sẽ biết được khái niệm tập con.

Ta thấy các học sinh tổ I của lớp 10D đều là các học sinh của lớp 10D.

Khi đó, tập hợp B là tập con của tập hợp A, kí hiệu B ⊂ A.

Đây chính là mối quan hệ giữa hai tập hợp A và B.

Có hai cách cho một tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp;

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

a) Quan sát Hình 1, ta thấy bên trong vòng kín biểu diễn tập hợp A có 3 chấm biểu diễn 3 phần tử a, b, c. Vậy ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử như sau:

A = {a; b; c}.

b) Nhận thấy chấm biểu diễn phần tử d nằm ngoài vòng kín biểu diễn tập hợp A, do đó phần tử d không thuộc tập hợp A, ta viết d ∉ A.

+ C = {x$\in ℝ$ | x² < 0}

Ta có với mọi số thực x thì x² ≥ 0, nghĩa là không tồn tại số thực x để x² < 0, do đó ta không tìm được phần tử x nào thỏa mãn tập hợp C hay tập hợp C không có phần tử nào.

+ D = {a}

Tập hợp D có 1 phần tử, là phần tử a.

+ E = {b; c; d}

Tập hợp E có 3 phần tử.

+ $\mathbb{N}=$ {0; 1; 2; …}.

Tập hợp $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Tập hợp này có vô số phần tử.

+ G = {x$\in ℝ$ | x² + 1 = 0}

Ta có: x² ≥ 0, với mọi x $\in ℝ$.

Do đó: x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 hay x² + 1 > 0 với mọi x $\in ℝ$.

Suy ra x² + 1 ≠ 0 với mọi x $\in ℝ$.

Vậy tập hợp G không có phần tử nào.

+  ${\mathbb{N}}^{*}$= {1; 2; 3; …}.

Ta có ${\mathbb{N}}^{*}$  là tập hợp các số tự nhiên khác 0 nên tập hợp này có vô số phần tử.

a) A = {x$\in \mathbb{Z}$ | – 3 < x < 3}

Tập hợp A gồm các số nguyên lớn hơn – 3 và nhỏ hơn 3, đó là: – 2, – 1, 0, 1, 2.

Ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử như sau: A = {– 2; – 1; 0; 1; 2}.

B = {x$\in \mathbb{Z}$ | – 3 ≤  x ≤ 3}

Tập hợp B gồm các số nguyên lớn hơn hoặc bằng – 3 và nhỏ hơn hoặc bằng 3, đó là: –3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3.

Ta viết tập hợp B bằng cách liệt kê các phần tử như sau: B = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}.

b) Nhận thấy mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B.

Ta cần chứng minh B ⊂ A hay tập hợp B là tập con của tập hợp A. Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A hay cần chứng minh với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 9 thì n chia hết cho 3.

Điều này hoàn toàn đúng, thật vậy:

Vì n chia hết cho 9, ta đặt n = 9k,$k\in \mathbb{N}$

Vì 9 chia hết cho 3 nên 9k chia hết cho 3 (theo tính chất chia hết của một tích)

Do đó, n chia hết cho 3.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Để xét xem các mệnh đề a, b có đúng không, ta cần xem xét các phần tử của hai tập hợp A và B.

Để tìm bội chung của 2 và 3 ta tìm BCNN của 2 và 3. Bội chung của 2 và 3 chính là bội của bội chung nhỏ nhất của 2 và 3.

Ta có: BCNN(2, 3) = 6

Khi đó: BC(2, 3) = B(6)

Do đó, số tự nhiên n là bội cung của 2 và 3 thì n là bội của 6, hay nếu n là bội của 6 thì n là bội chung của 2 và 3.

Điều này có nghĩa là mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B và mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A.

Vậy A ⊂ B và B ⊂ A là các mệnh đề đúng.

Để chứng minh E = G, ta cần chứng minh E ⊂ G và G ⊂ E.

Vậy ta cần chứng minh với mọi số tự nhiên n, n chia hết cho 12 thì n chia hết cho cả 3 và 4 và ngược lại. Thật vậy,

Ta có n chia hết cho 12 nên n là bội của 12, n chia hết cho cả 3 và 4 nên n là bội chung của 3 và 4.

Lại có BCNN(3, 4) = 12

Do đó BC(3, 4) = B(12).

Vậy mọi phần tử của tập hợp E đều thuộc tập hợp G mà mọi phần tử của tập hợp G đều thuộc tập hợp E.

Hay chính là E ⊂ G và G ⊂ E

Vậy E = G.

Quan sát danh sách trên, ta thấy hai bạn An, Chung đều trong danh sách đăng kí tham gia câu lạc bộ bóng đá và bóng rổ.

Vậy danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ là: An, Chung.

Danh sách nhưng môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất bao gồm tất cả các môn thi đấu giống và khác nhau của hai trường. Danh sách này gồm các môn thi đấu: Bóng đá, Bóng rổ, Bóng bàn, Cầu lông.

Tập hợp A gồm các số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0, tập hợp B gồm các số thực lớn hơn hoặc bằng 0.

Khi đó phần tử 0 vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.

Do đó A ∩ B = {0} và A ∪ B = {x | x$\in ℝ$ } = $ℝ$.

Tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp $\mathbb{Q}$  các số hữu tỉ.

Các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B là: 2; 14.

+ A = {x$\in \mathbb{Z}$ | – 2 ≤ x ≤ 3}

Tập hợp A gồm các số nguyên lớn hơn hoặc bằng – 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 3, chính là: – 2, – 1, 0, 1, 2, 3. Ta viết tập hợp A như sau: A = {– 2; – 1; 0; 1; 2; 3}.

+ B = {x$\in ℝ$ | x² – x – 6 = 0}

Ta có: x² – x – 6 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy B = {– 2; 3}.

+ Tập hợp A \ B gồm những phần tử thuộc A mà không thuộc B, đó là – 1, 0, 1, 2.

Vậy A \ B = {– 1; 0; 1; 2}.

+ Tập hợp B \ A gồm những phần tử thuộc B mà không thuộc A.

Ta thấy mọi phần tử thuộc B đều thuộc A. Do đó không có phần tử nào thuộc B mà không thuộc A.

Vậy B \ A = $\varnothing$.

Các tập hợp con của tập hợp X = {a; b; c} là: $\varnothing$, X, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}.

Tập hợp [2; 5] là tập hợp gồm các số thực lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 5.

Tập hợp (2; 5) là tập hợp gồm các số thực lớn hơn 2 và nhỏ hơn 5.

Tập hợp [2; 5) là tập hợp gồm các số thực lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn 5.

Tập hợp (1; 5] là tập hợp các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 5.

Do đó ta sắp xếp các tập hợp như sau:

(2; 5) ⊂ [2; 5) ⊂ [2; 5] ⊂ (1; 5].

a) Do (2; 5) ⊂ [–3 ; 7] nên giao của hai tập hợp [–3; 7] và (2; 5) là khoảng (2; 5)

Vậy [– 3; 7] ∩ (2; 5) = (2; 5) và được biểu diễn là:

b) Ta có: (– ∞; 0] = {x$\in ℝ$ | x ≤ 0}

(–1 ; 2) = {x$\in ℝ$ | –1 < x < 2}

Khi đó (– ∞; 0] ∪ (–1 ; 2) = {x$\in ℝ$ | x ≤ 0 hoặc – 1 < x < 2} = {x$\in ℝ$ | x < 2} = (– ∞; 2)

Vậy (– ∞; 0] ∪ (– 1; 2) = (– ∞; 2) và được biểu diễn là:

c) Tập hợp$ℝ$ \ (– ∞; 3) là tập hợp các số thực không thuộc khoảng (– ∞; 3)

Vậy$ℝ$ \ (– ∞; 3) = [3; + ∞) và được biểu diễn là:

d) Tập hợp (– 3; 2) \ [1; 3) gồm các phần tử thuộc (– 3; 2) và không thuộc [1; 3).

Vậy (– 3; 2) \ [1; 3) = (– 3; 1) và được biểu diễn là:

+ Giải phương trình x² + x – 2 = 0

Ta có: ∆ = 1² – 4 . 1 . (– 2) = 1 + 8 = 9

Suy ra phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = – 2.

Ta viết tập hợp A như sau: A = {–2 ; 1}.

+ Tương tự, giải phương trình 2x² + x – 6 = 0 ta được 2 nghiệm là $\frac{3}{2}$  và – 2.

Do đó ta viết được tập hợp B như sau: B = {– 2;$\frac{3}{2}$ }.

+ Ta có: C = A ∩ B hay tập hợp C là giao của hai tập hợp A và B, hay mọi phần tử thuộc tập hợp C phải vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.

Vậy C = {– 2}.

Chú ý: D = E ∩ G hay tập hợp D là giao của hai tập hợp E và G. Ta cần tìm tập E, G bằng cách tìm tập nghiệm của các bất phương trình đã cho rồi từ đó suy ra tập hợp D.

a) 2x + 3 ≥ 0 và – x + 5 ≥ 0

Ta giải các bất phương trình.

2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥$\frac{-3}{2}$

Khi đó E = $\left\{x\in ℝ|x\ge \frac{-3}{2}\right\}$    .

– x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≤ 5

Khi đó G = {x$\in ℝ$ | x ≤ 5} = (– ∞; 5]

Vậy D = E ∩ G = $\left[\frac{-3}{2};+\infty \right)\cap \left(-\infty ;5\right]$  = $\left[\frac{-3}{2};5\right]$.

b) x + 2 > 0 và 2x – 9 < 0

Ta có: x + 2 > 0 ⇔ x > – 2

Khi đó E = {x$\in ℝ$ | x > – 2} = (– 2; + ∞)

Lại có: 2x – 9 < 0 $\iff x<\frac{9}{2}$

Khi đó G = $\left\{x\in ℝ|x<\frac{9}{2}\right\}$$=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$

Vậy $D=E\cap G=\left(-2;+\infty \right)\cap \left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)=\left(-2;\frac{9}{2}\right)$.

A là tập nghiệm của đa thức P(x).

Suy ra A = {x$\in ℝ$ | P(x) = 0}.

Biểu thức $\frac{1}{P\left(x\right)}$  xác định khi P(x) ≠ 0.

Do đó tập hợp các số thực x sao cho biểu thức $\frac{1}{P\left(x\right)}$  xác định chính là tập hợp các số thực không thuộc A.

Gọi B là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức$\frac{1}{P\left(x\right)}$  xác định.

Vậy B = $ℝ\backslash A$  = $C_{ℝ}A$.

Trong nhóm có 4 bạn không tham gia tiết mục nào nên số bạn trong nhóm tham gia hát hoặc múa là: 12 – 4 = 8 (bạn)

Trong 8 bạn trên, có 5 bạn học sinh tham gia múa, vậy số học sinh không tham gia tiết mục múa nhưng có tham gia tiết mục hát là: 8 – 5 = 3 (bạn)

Vì có 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục, nghĩa là 3 bạn này thuộc trong nhóm 5 học sinh tham gia tiết mục múa, đồng thời khác với 3 bạn tham gia tiết mục hát nhưng không tham gia tiết mục múa.

Do vậy, số bạn trong nhóm tham gia tiết mục hát là: 3 + 3 = 6 (bạn)