Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\) có nghĩa khi x – 2 > 0 ⇔ x > 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có các hệ số: a = – 1; b = 2, c = 3.

 \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\)

y(1) = – 1² + 2 . 1 + 3 = 4.

Vậy tọa độ đỉnh của parabol là I(1; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các hệ số a = 1 > 0, b = – 5, c = 4.

Ta có: \[\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 5} \right)}}{{2.1}} = \frac{5}{2}\]

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

Mà (– ∞; 1) \( \subset \left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 2mx + 4 có hệ số a = 1 > 0, ∆' = (– m)² – 1 . 4 = m² – 4.

Để f(x) > 0 (cùng dấu với hệ số a) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì ∆' < 0 hay m² – 4 < 0.

⇔ m² < 4 ⇔ – 2 < m < 2.

Trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A. m = – 1 là thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3} = x - 1\) ta được:

2x² – 3 = x² – 2x + 1

⇔ x² + 2x – 4 = 0

⇔ x = \( - 1 - \sqrt 5 \) hoặc \(x = - 1 + \sqrt 5 \).

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = \( - 1 + \sqrt 5 \) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = \(\left\{ { - 1 + \sqrt 5 } \right\}\).

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức \(\sqrt {2x - 1} + \sqrt {5 - x} \) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 5\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = \(\left[ {\frac{1}{2};\,5} \right]\).

b) Biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\) có nghĩa khi x – 1 > 0 hay x > 1.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞).

Hướng dẫn giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) (P) đi qua điểm A(1; 1) nên tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 1 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 2 ⇔ a = – 2 – b      (1a).

(P) đi qua điểm B(– 1; 0) nên tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 0 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 3 ⇔ a – b = – 3 ⇔ a = – 3 + b     (2a).

Từ (1a) và (2a) suy ra: – 2 – b = – 3 + b ⇔ 2b = 1 ⇔ b = \(\frac{1}{2}\).

Suy ra: a = – 2 – \(\frac{1}{2}\) = \( - \frac{5}{2}\).

Vậy phương trình parabol (P): \(y = - \frac{5}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 3\).

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) nên tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 2 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔ a = – 1 – b      (1b).

(P) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}b\) (2b).

Từ (1b) và (2b) suy ra: \( - 1 - b = - \frac{1}{2}b \Leftrightarrow \frac{1}{2}b = - 1 \Leftrightarrow b = - 2\).

Suy ra a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = x² – 2x + 3.

c) (P) có đỉnh là I(1; 4) hay (P) đi qua điểm I(1; 4) nên tọa độ điểm I thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có: 4 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b    (1c).

Vì I là đỉnh của (P) nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a = - b \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}b\)   (2c).

Từ (1c) và (2c) suy ra: 1 – b = \( - \frac{1}{2}b\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}b = 1 \Leftrightarrow b = 2\).

Suy ra a = 1 – b = 1 – 2 = – 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = – x² + 2x + 3.

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 1 có ∆ = (– 3)² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = \(\frac{1}{2}\) và x₂ = 1.

Mặt khác hệ số a = 2 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² + 5x + 4 có ∆ = 5² – 4 . 1 . 4 = 9 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 4 và x₂ = – 1.

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy bất phương đã cho có tập nghiệm là S = (– 4; – 1).

c) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 12x – 12 có ∆' = 6² – (– 3) . (– 12) = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 2. Lại có hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x ≠ 2.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

d) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 2x + 1 có ∆' = 1² – 2 . 1 = – 1 < 0, hệ số a = 2 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {2{x^2} - 14} = x - 1\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được

2x² – 14 = x² – 2x + 1

⇔ x² + 2x – 15 = 0

⇔ x = – 5 hoặc x = 3.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.

b) \(\sqrt { - {x^2} - 5x + 2} = \sqrt {{x^2} - 2x - 3} \)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

– x² – 5x + 2 = x² – 2x – 3

⇔ 2x² + 3x – 5 = 0

⇔ x = \( - \frac{5}{2}\) hoặc x = 1.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = \( - \frac{5}{2}\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = \( - \frac{5}{2}\).

Hướng dẫn giải

a) Giả sử hàm số cần lập có dạng y = f(t) = at² + bt + c, với a, b, c là các số thực, a ≠ 0.

Trong đó, t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018 nên t > 0 và ta quy ước tại năm 2018 thì t = 0, năm 2019 thì t = 1, tương tự cho các năm sau và f(t) là số lượng máy tính bán ra qua từng năm.

Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0; 3,2) và (1; 4). Do đó đồ thị hàm số y = f(t) = at² + bt + c đi qua các điểm (0; 3,2) và (1; 4) nên ta có:

3,2 = a . 0² + b . 0 + c ⇔ c = 3,2

Và 4 = a . 1² + b . 1 + c ⇔ a + b + 3,2 = 4 ⇔ a + b = 0,8 ⇔ a = 0,8 – b (1).

Lại có đồ thị hàm số trên có đỉnh là (0; 3,2) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) (do a ≠ 0).

Thay vào (1) ta có: a = 0,8 – 0 = 0,8.

Vậy ta có hàm số: y = f(t) = 0,8t² + 3,2.

b) Đến năm 2024 thì loại máy tính trên đã bán ra được số năm là: 2024 – 2018 = 6 (năm). Do đó t = 6.

Suy ra: f(6) = 0,8 . 6² + 3,2 = 32.

Vậy trong năm 2024 số lượng máy tính bán ra được là 32 nghìn chiếc.

c) Số lượng máy tính xách tay bán ra được trong năm vượt mức 52 nghìn chiếc nghĩa là f(t) > 52 hay 0,8t² + 3,2 > 52 ⇔ t² > 61 ⇔ t < \( - \sqrt {61} \) hoặc t >\(\sqrt {61} \).

Mà t > 0 nên t > \(\sqrt {61} \) ≈ 7,8.

Do đó trong năm thứ 8 kể từ khi bắt đầu bán thì số lượng máy tính bán ra được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc và đó chính là năm 2018 + 8 = 2026.

Vậy trong năm 2026 thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc.