Giao điểm ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc A của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau:

Thực hiện theo hướng dẫn ta thu được hình như sau:

Ta thấy ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm.

Ba cạnh tường rào tạo thành ba cạnh của một tam giác.

Để trạm quan sát cách đều ba cạnh tường rào thì trạm quan sát là giao điểm ba đường phân giác của tam giác tạo bởi ba cạnh tường rào.

a) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IK = 6 cm.

Vậy IK = IN = 6 cm.

b) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IK.

Suy ra 2x - 3 = x + 3

Suy ra 2x - x = 3 + 3

Do đó x = 6.

Do DABC cân tại A nên AB = AC.

Do AM là đường trung tuyến của DABC nên M là trung điểm của BC.

Xét DAMB và DAMC có:

AB = AC (chứng minh trên).

AM chung.

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Suy ra DAMB = DAMC (c.c.c).

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (2 góc tương ứng).

Mà AM nằm giữa AB và AC nên AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}.$

Tam giác ABC có hai đường phân giác AM và BI cắt nhau tại I.

Mà ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy nên CI là tia phân giác của góc C.

Vậy CI là tia phân giác của góc C.

Do DABC cân tại A nên AB = AC.

Tam giác ABC có M là giao điểm hai đường phân giác.

Mà ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy nên AM là đường phân giác của tam giác ABC.

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ hay $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$.

Xét DAHB và DAHC có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ (chứng minh trên).

AH chung.

Suy ra DAHB = DAHC (c.g.c).

Do đó HB = HC (2 cạnh tương ứng).

Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.

Vậy H là trung điểm của BC.

Từ (1) và (2) ta có ME + NF = MI + NI = MN.

Vậy ME + NF = MN.

Tam giác AMN có hai đường phân giác của góc M và N cắt nhau tại I.

Mà ba đường phân giác của tam giác AMN đồng quy nên AI là đường phân giác của $\widehat{A}$.

Do đó $\widehat{IAR}=\frac{1}{2}\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.90°=45°$.

Trong tam giác TAR vuông tại T: $\widehat{TAR}+\widehat{TRA}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$).

Suy ra $\widehat{TRA}=90°-\widehat{TAR}=90°-45°=45°$.

Tam giác TAR có $\widehat{TAR}=\widehat{TRA}=45°$ nên tam giác TAR cân tại T.

Do đó AT = RT.

Ba xa lộ tạo thành ba cạnh của tam giác ABC.

Sân bay cách đều ba xa lộ AB, BC, CA nên địa điểm làm sân bay là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau: