Đặt đầu bút chì ở trọng tâm của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tam giác ABC.

Bước 2. Xác định trung điểm D của BC và vẽ đoạn thẳng nối A và D.

Ta có hình vẽ sau:

Xác định trung điểm E của AC và trung điểm F của AB.

Nối BE và CF ta được hai đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau:

a) Tam giác DEF có đường trung tuyến DH nên H là trung điểm của EF.

Ta có hình vẽ sau:

b) Tam giác vuông MNP có đường trung tuyến MK nên K là trung điểm của NP.

Ta có hình vẽ sau:

c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh JK, KI, IJ.

Nối ID, JE, KF ta được ba đường trung tuyến của tam giác MNP.

Ta có hình vẽ sau:

a) Thực hiện theo hướng dẫn của bài toán ta thu được hình sau:

Ta thấy ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm.

b) Ta có hình vẽ sau:

- Quan sát hình ta thấy D là trung điểm của BC nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

- $\frac{BG}{BE}=\frac{2}{3}$, $\frac{CG}{CF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $\frac{AG}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Do O là trung điểm của BC nên AO là đường trung tuyến của tam giác ABC, DO là đường trung tuyến của tam giác DBC.

Do I là trọng tâm của tam giác ABC nên I nằm trên AO sao cho AI = $\frac{2}{3}$ AO.

Do J là trọng tâm của tam giác DBC nên J nằm trên DO sao cho DJ = $\frac{2}{3}$DO.

Mà OA và OD là hai tia đối nhau nên A, I, O, J, D thẳng hàng.

Do AI = $\frac{2}{3}$ AO nên OI = $\frac{1}{3}$ AO.

Do DJ = $\frac{2}{3}$DO nên OJ = $\frac{1}{3}$DO.

Do AO = DO và I, O, J thẳng hàng nên IJ = OI + OJ = $\frac{2}{3}$AO.

Khi đó AI = $\frac{2}{3}$AO, IJ = $\frac{2}{3}$AO, DJ = $\frac{2}{3}$AO nên AI = IJ = JD.

Ta thấy G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFH nên G là trọng tâm của tam giác EFH.

Do đó EG = $\frac{2}{3}$EM.

Suy ra GM = EM - EG = EM - $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{3}$EM.

Khi đó GM : EG = $\frac{1}{3}$EM : $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{2}$.

FG = $\frac{2}{3}$FN, do đó GN = FN - FG = FN - $\frac{2}{3}$FN = $\frac{1}{3}$FN.

Khi đó FG : GN = $\frac{2}{3}$FN : $\frac{1}{3}$FN = 2.

GN = $\frac{1}{3}$FN nên FN = 3GN.

FG = $\frac{2}{3}$FN nên FN = $\frac{3}{2}$FG.

Ta điền như sau:

EG = $\frac{2}{3}$EM;          GM = $\frac{1}{3}$EM;          GM = $\frac{1}{2}$EG;

FG = 2GN;            FN = 3GN;            FN = $\frac{3}{2}$FG.

a) G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó AG =$\frac{2}{3}$ AM = $\frac{2}{3}$ . 15 = 10 cm.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GN = $\frac{1}{3}$CN.

Do đó CN = 3GN = 3.6 = 18 cm.

a) Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Do đó BM = CM.

Xét DBMG và DCME có:

BM = CM (chứng minh trên).

$\widehat{BMG}=\widehat{CME}$ (đối đỉnh).

MG = ME (theo giả thiết).

Do đó DBMG = DCME (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BGM}=\widehat{CEM}$ (2 góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BG // EC.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM.

Lại có ME = GM và G, M, E thẳng hàng nên GE = GM + ME = 2GM.

Suy ra AG = GE.

Do đó G là trung điểm của AE.

Tam giác ABE có hai đường trung tuyến AI và BG cắt nhau tại F nên F là trọng tâm của tam giác ABE.

Do đó AF = 2FI.

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

BE và CD là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên E và D lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra AE = $\frac{1}{2}$AC, AD = $\frac{1}{2}$AB.

Mà AB = AC nên AE = AD.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AC\text{D}$ có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{A}$ chung.

AE = AD (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABE=\Delta AC\text{D}$ (c.g.c).

Suy ra BE = CD (2 cạnh tương ứng).

F là giao điểm hai đường trung tuyến trong tam giác ABC nên F là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó DF = $\frac{1}{3}$CD = $\frac{1}{3}$ . 9 = 3 (cm).

Vậy DF = 3 cm.