Đáp án B

Vì 32 chia hết cho 4 nên để x + 32 không chia hết cho 4 thì x phải không chia hết cho 4.

Mà x thuộc tập .

Nên x = 27.

Đáp án B

Lần lượt nhân 50 với các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …

B(50) = {0; 50; 100; 150; 200; 250; 300; …}.

Mà 200 < x < 300 nên x = 250.

Đáp án C

Lần lượt chia 24 cho các số tự nhiên từ 1 đến 24 ta thấy 24 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

Vậy A = {1; 2; 4; 6; 12; 16; 24}.

Đáp án D

Ta có 34 không chia hết cho 4 nên ta viết: 34 $\cancel{⋮}$ 4 

Vì 68 = 17.4 nên 68 chia hết cho 7, ta viết: $68⋮17$ 

Vì 36 = 9.4 nên 36 chia hết cho 9, ta viết: $36⋮9$ 

Đáp án C

Lần lượt nhân 6 với các số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;… ta được các bội của 6 là: 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …. 

Các bội của 6 lớn hơn 12 và nhỏ hơn 30 là: 18; 24.

Vậy K = {18; 24}.

Đáp án A

Vì 118 chia hết cho 2, 23 không chia hết cho 2 nên hiệu 118 – 23 không chia hết cho 2. Do đó C sai.

118 không chia hết cho 5, 23 không chia hết cho 5 nhưng 118 – 23 = 95 chia hết cho 5.

Do đó A đúng, B sai.

Suy ra D sai.

Đáp án D

Xét hiệu 56 – x, vì 56 chia hết cho x để 56 – x chia hết cho 2 thì x chia hết cho 2.

Mà x thuộc {12; 13; 14; 15; 16}.

Do đó x thuộc {12; 14; 16}.

Đáp án D

Gọi số người mỗi nhóm được chia là x (người)

Ta có mỗi nhóm có ít nhất 2 người và không quá 10 người nên x ∈ ¥; 2 ≤ x ≤ 10 

Vì đội thể thao của trường có 45 vận động viên và huấn luyện viên chia thành các nhóm mà mỗi nhóm có số người như nhau nên $45⋮x$ hay x ∈ Ư(45) 

Ta lại có Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Mà 2 ≤ x ≤ 10 do đó x ∈ {3; 5; 9} 

Với số người mỗi nhóm được chia là 3 người thì số nhóm là: 45 : 3 = 15 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 5 người thì số nhóm là: 45 : 5 = 9 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 9 người thì số nhóm là: 45 : 9 = 5 (nhóm)

Vậy huấn luyện viên có thể chia thành 15 nhóm, 9 nhóm hoặc 5 nhóm.

Đáp án B

Ta có a chia cho 12 dư 6 nghĩa là a – 6 chia hết cho 12.

Vì a – 6 chia hết cho 12 nên a – 6 chia hết cho 2 và 4.

Vì 6 chia hết cho 2 nên a chia hết cho 2.

Vì 6 không chia hết cho 4 nên a không chia hết cho 4.

Vậy a chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.

Đáp án A

Các số trong bảng số chia hết cho 4 là: 24 (vì 24 = 6.4) và 48 (vì 48 = 6.8).

Các số trong bảng số chia hết cho 5 là: 30 (vì 30 = 6.5) và (45 (vò 45 = 5.9).

Vậy ta chọn được các số là 24; 48; 30; 45.

Do các số được sắp xếp từ nhỏ đến lớn nên ta có: 24; 30; 45; 48.

Vậy mật mã là: 24304548.

+) Số 24 chia hết cho 6 vì 24 : 6 = 4 và không có dư nên 24$⋮$6

+) Số 45 không chia hết cho 10 vì 45 chia 10 bằng 4 và dư 5 nên 45$\cancel{⋮}$10

+) Số 35 chia hết cho 5 vì 35 : 5 = 7 và không có dư nên 35$⋮$5

+) Số 42 không chia hết cho 4 vì 42 chia 4 bằng 10 và dư 2 nên 42$\cancel{⋮}$ 4.

Ta có: 15 : 5 = 3 và không có dư nên 

           15 : 6 = 2 và dư 3 nên 

Do đó 5 là ước của 15 và 6 không là ước của 15.

Vậy bạn Vuông đúng.

Ta sẽ thực hiện phép chia 12 cho các số từ 1 đến 12

Ta có bảng sau:

Qua bảng trên ta thấy: phép chia có số dư bằng 0 là phép chia hết, do đó 12 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 4; 6; 12

Hay 1; 2; 3; 4; 6; 12 là các ước của 12.

Vậy Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Đáp án A

Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0). Nếu có số tự nhiên k sao cho a = kb thì ta nói a chia hết cho b. 

Đáp án C

Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b. Do đó cả A và B đều đúng.

Đáp án D

Để tìm ước của 24, ta lấy 24 chia lần lượt cho các số tự nhiên từ 1 đến 24, ta thấy 24 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

Vậy M = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Đáp án A

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng đó chia hết cho số đó.

Ta sẽ thực hiện phép nhân 8 với các số từ 0;1; 2; 3; 4….

Ta có bảng sau:

Từ bảng trên ta thấy các bội của 8 nhỏ hơn 80 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72

Nên ta viết: B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72}

Đáp án A

Ta có:

+) Vì 80 $⋮$ 5; 1945 $⋮$ 5; 15 $⋮$ 5 nên 80 + 1945 + 15 $⋮$ 5. Đo đó, A đúng.

+) Vì 1930 $⋮$ 5; 100 $⋮$ 5 và 21 $\cancel{⋮}$ 5 nên 1930 + 100 + 21 không chia hết cho 5. Do đó, B sai.

+) Vì 105 $⋮$ 5; 20 $⋮$ 5 và 34 $\cancel{⋮}$ 5 nên 34 + 105 +20 không chia hết cho 5. Do đó, C sai.

+) Vì 1025 $⋮$ 5; 2125 $⋮$ 5 và 46 $\cancel{⋮}$ 5 nên 1025 + 2125 + 46 không chia hết cho 5. Do đó, D sai.

a) Lần lượt chia 20 cho các số tự nhiên từ 1 đến 20, ta thấy 20 chia hết cho 1; 2; 4; 5; 10; 20 nên

Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}.

b) Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được các bội của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52;…

Các bội của 4 nhỏ hơn 50 là: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40;

Lần lượt chia 12 cho các số tự nhiên từ 1 đến 12, ta thấy 12 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 12 nên

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Từ các ước ta nhận thấy:

12 = 2 + 4 + 6

Nên ba ước khác nhau của 12 có tổng là 12 là: 2; 4; 6.

Đáp án B

Nếu một tổng có ba số hạng, trong đó có 2 số hạng chia hết cho 7 và số hạng còn lại không chia hết cho 7 thì tổng đó không chia hết cho 7.

Ta chọn hai số chia hết cho 5 là: 10 và 15

Tổng của chúng là: 10 + 15 = 25

Vì 25: 5 = 5

Nên 25 chia hết cho 5 nên tổng (10 + 15) chia hết cho 5.

Ta chọn ba số chia hết cho 7 là: 7; 14; 21

Tổng của chúng là: 7 + 14 + 21 = 42

Vì 42 : 7 = 6

Nên 42 chia hết cho 7 nên tổng (7 + 14 + 21) chia hết cho 7.

Đáp án C

Ta có 16 = 4.4 nên 16 chia hết cho 4. Do đó 16 là bội của 4.

Ta có 24 = 4.6 nên 24 chia hết cho 4. Do đó 24 là bội của 4.

Ta có 35 không chia hết cho 4 nên 35 không phải là bội của 4.

Ta có 68 = 4.17 nên 68 chia hết cho 4. Do đó 68 là bội của 4.

a) Vì  $24⋮4$ và $48⋮4$ nên theo tính chất chia hết của một tổng (24 + 48) $⋮$ 4

b) Vì  48$⋮$6; 12 $⋮$ 6 và $36⋮6$ nên (48 + 12 - 36) ⋮ 6

Đáp án C

Ta có 12 chia hết cho 6 nên 6 là ước của 12. Do đó A đúng.

Vì 35 chia hết cho 7 và 14 chia hết cho 7 nên 35 + 14 chia hết cho 7. Do đó B đúng.

121 không chia hết cho 12 nên 121 không là bội của 12. Do đó C sai.

Ta có 219.26 = 219.13.2 chia hết cho 13, 13 cũng chia hết cho 13 nên 219.26 + 13 chia hết cho 13. Do đó D đúng.

Đáp án D

Lần lượt chia 30 cho các số tự nhiên từ 1 đến 30 ta thấy 30 chia hết cho: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 25; 30.

Các ước nhỏ hơn hoặc 10 là: 1; 2; 3; 5; 6; 10.

Vì (21 + x) $⋮$ 7 mà 21 $⋮$ 7 nên theo tính chất chia hết của một tổng thì x $⋮$ 7

Mà x thuộc tập {1; 14; 16; 22; 28} do đó x = 14 hoặc x = 28

Vậy  x $\in${14; 28}.

Ta chọn hai số: 10 chia hết cho 5 và 6 không chia hết cho 5

Tổng của chúng là: 10 + 6 = 16

Vì 16 : 5 = 3 (dư 1)

Do đó 16 không chia hết cho 5 nên tổng (10 + 6) không chia hết cho 5.

Đáp án D

Lần lượt chia 12 cho các số tự nhiên từ 1 đến 12 ta thấy 12 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

Trong đó ba ước khác nhau có tổng bằng 12 là 2; 4; 6.

Ta chọn ba số trong đó hai số 4; 8 chia hết cho 4 và 5 không chia hết cho 4

Tổng của chúng là: 4 + 8 + 5 = 17

Vì 17 : 4 = 4 (dư 1)

Do đó 17 không chia hết cho 4 nên tổng (4 + 8 + 5) không chia hết cho 4.

a) Vì 20 ⁝ 5 và 81 5nên (20 + 81)5

Vậy 20 + 81 không chia hết cho 5.

b) Vì 28 ⁝ 4, 12 ⁝ 4và 34$\cancel{⋮}$4 nên (34 + 28 – 12)$\cancel{⋮}$4.

Vậy 34 + 28 – 12 không chia hết cho 4.

Vì 20 ⁝ 5; 45⁝5, để (20 + 45 + x) $\cancel{⋮}$ 5 thì x $\cancel{⋮}$ 5.

Mà x thuộc tập {5; 25; 39; 54} do đó x = 39 hoặc x = 54

Vậy x ∈ {39;54}.

Theo mình, hai số không chia hết cho 4 thì tổng của chúng có thể chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 4.

Ví dụ: 5 và 7 là hai số không chia hết cho 4 nhưng (5 + 7) = 12 ⁝ 4

5 và 9 là hai số không chia hết cho 4 nhưng (5 + 9) = 14 $\cancel{⋮}$ 4

Vậy hai số không chia hết cho 4 thì chưa kết luận được tổng có chia hết cho 4 hay không. 

+) Lần lượt chia 30 cho các số tự nhiên từ 1 đến 30, ta thấy 30 chia hết cho 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 nên Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

+) Lần lượt chia 35 cho các số tự nhiên từ 1 đến 35, ta thấy 35 chia hết cho 1; 5; 7; 35 nên 

Ư(35) = {1; 5; 7; 35}. 

+) Lần lượt chia 17 cho các số tự nhiên từ 1 đến 17, ta thấy 17 chia hết cho 1; 17 nên 

Ư(17) = {1; 17}.

Vì 16 : 4 = 4, 24 : 4 = 6, 35 : 4 = 8 (dư 3)

Nên 16 ⁝ 4; 24 ⁝ 4; 34$\cancel{⋮}$4

Vậy các số là bội của 4 là: 16; 24.

a) Lần lượt nhân 7 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được các bội của 7 là: 0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70;…

Ta được B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70;…}

Mà x ∈ B(7) và x < 70 nên x ∈ {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63}.

b) Lần lượt chia 50 cho các số từ 1 đến 50, ta thấy 50 chia hết cho 1; 2; 5; 10; 25; 50 nên 

Ư(50) = {1; 2; 5; 10; 25; 50}

Mà y ∈ Ư(50) và y > 5 nên y ∈ {10; 25; 50}.

a) Vì 15 ⁝ 5; 1975 ⁝ 5 nhưng 2019$\cancel{⋮}$5 nên (15 + 1 975 + 2 019)$\cancel{⋮}$5

Vậy tổng 15 + 1 975 + 2 019 không chia hết cho 5.

b) Vì 20 ⁝ 5; 90 ⁝ 5; 2025 ⁝ 5; 2050 ⁝ 5 nên (20 + 90 + 2 025 + 2 050) ⁝ 5

Vậy tổng 20 + 90 + 2 025 + 2 050 chia hết cho 5.

a) Vì 100$\cancel{⋮}$8 và 40 ⁝ 8 nên (100 – 40)$\cancel{⋮}$8

Vậy hiệu 100 – 40 không chia hết cho 8.

b) Vì 8 ⁝ 8 và 16 ⁝ 8 nên theo tính chất chia hết của một hiệu thì (80 - 16) ⁝ 8

Vậy hiệu 80 – 16 chia hết cho 8.

a) Vì 7 ⁝ 7 nên (219.7) ⁝ 7 và 8$\cancel{⋮}$7 do đó (219.7 + 8)$\cancel{⋮}$7.

b) Vì 12 ⁝ 3nên (8.12) ⁝ 3 và 9 ⁝ 3 do đó (8.12 + 9) ⁝ 3.

Vậy khẳng định b là đúng.

Ta thấy số học sinh bằng số nhóm nhân với số người ở một nhóm (Số người, số nhóm đều là số tự nhiên khác 0)

Do đó: Số nhóm = Số học sinh : Số người ở một nhóm

Số người ở một nhóm = Số học sinh : Số nhóm

Ta có bảng sau:

Với số nhóm là 6 thì số người ở một nhóm là: 40 : 6 vì  40$\cancel{⋮}$6 nên bỏ trống.

Gọi số người mỗi nhóm được chia là x (người)

Ta có mỗi nhóm có ít nhất 2 người và không quá 10 người nên $\mathrm{x}\in {\mathrm{N}}^{*};2\le \mathrm{x}\le 10$

Vì đội thể thao của trường có 45 vận động viên và huấn luyện viên chia thành các nhóm mà mỗi nhóm có số người như nhau nên 45 ⁝ x hay x ∈ Ư(45) 

Ta lại có Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Mà 2 ≤ x ≤ 10 do đó x ∈ {3; 5; 9}

Với số người mỗi nhóm được chia là 3 người thì số nhóm là: 45 : 3 = 15 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 5 người thì số nhóm là: 45 : 5 = 9 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 9 người thì số nhóm là: 45 : 9 = 5 (nhóm)

Vậy huấn luyện viên có thể chia thành 15 nhóm, 9 nhóm hoặc 5 nhóm

a) Vì 56 - x chia hết cho 8 mà 56 chia hết cho 8 nên theo tính chất chia hết của một hiệu thì x chia hết cho 8

Mà x thuộc tập {23; 24; 25; 26}, trong các số đó, chỉ có số 24 chia hết cho 8 nên x = 24

Vậy x ∈ 24 .

b) Vì 60 + x không chia hết cho 6 mà 60 chia hết cho 6 nên x không chia hết cho 6

Mà x thuộc tập {22; 24; 45; 48}, trong các số đó thì có hai số 22 và 45 không chia hết cho 6 nên x = 22 hoặc x = 45

Vậy x ∈ { 22;45 }.

a) Ta có 12 = 2.6 nên 12 chia hết cho 2 ta viết 12 $⋮$ 2.

b) Ta có 105 = 5.21 nên 105 chia hết cho 5 ta viết 105 $\cancel{⋮}$ 5.

c) Ta có 26 không chia hết cho 4 nên ta viết 26 $\cancel{⋮}$ 4.

+ Ước và bội:

Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.

Ta kí hiệu Ư(a) là tập hợp các ước của a và B(b) là tập hợp các bội của b.

a) Khẳng định a) đúng.

b) Vì 14 không chia hết cho 3 nên khẳng định b sai.

c) 36 chia hết cho 9 là đúng, trong đó 9 là ước của 36 và 36 là bội của 9 nên c sai.

+ Cách tìm ước và bội:

Muốn tìm các ước của a (a > 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3;,,,,

a) Lần lượt chia 12 cho các số từ 1 đến 12, ta thấy 12 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 12 nên Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

b) Lần lượt nhân 8 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được các bội của 8 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; …

Các bội nhỏ hơn 60 của 8 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56.

a) Ta có 20 $⋮$ 5 và 15 $⋮$ 5 nên theo tính chất 1 thì tổng (20 + 15) $⋮$ 5.

b) Ta có 72 $⋮$3, 18 $⋮$3 và 12 $⋮$3 nên theo tính chất 1 thì tổng (72 + 18 – 12)$⋮$ 3.

a) Vì 219.7 là tích của 7 với số 219 nên chia hết cho 7 nhưng 12 không chia hết cho 7 nên 219.7 + 12   không chia hết cho 7. Do đó a sai.

b) Vì 2.3.4.11 là tích của 11 với các số 2; 3; 4 nên chia hết cho 11, 22 cũng chia hết cho 11 nhưng 45 không chia hết cho 11 nên 2.3.4.11 + 22 + 45 không chia hết cho 11. Do đó b đúng.

c) Ta có 8.12 không chia hết cho 5, 9 cũng không chia hết cho 5 nhưng tổng 8.12 + 9 = 105 lại chia hết cho 5. Do đó c đúng.

a) Ta có: B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; …}

⇒ x ∈ {0; 12; 24; 36; ...}

Mà 10 < x < 40 nên x ∈ {12; 24; 36}.

Vậy x ∈ {12; 24; 36}.

b) Ta có: Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

⇒ y ∈ {1; 2; 4; 5; 10; 20}

Mà y ≥ 5 nên y ∈ {5; 10; 20}.

Nếu số nhóm là 3 thì số người ở một nhóm là: 36:3 = 12 (người).

Nếu số người ở một nhóm là 9 thì số nhóm là: 36:9 = 4 (nhóm).

Nếu số nhóm là 6 thì số người ở một nhóm là: 36:6 = 6 (người).

Nếu số người ở một nhóm là 4 thì số nhóm là: 36:4 = 9 (người).

Nếu số người ở một nhóm là 3 thì số nhóm là: 36:3 = 12 (nhóm).

Ta có bảng sau:

a) Vì 56 chia hết cho 7 để 56 – m chia hết cho 7 thì m phải là một số chia hết cho 7. 

Mà m thuộc tập {21; 22; 23; 24; 25; 26}

Suy ra m = 21.

Vậy m = 21.

b) Vì 36 chia hết cho 6 nên để 36 + n không chia hết cho 6 thì n phải không chia hết cho 6. 

Mà n thuộc tập {18; 20; 22; 24; 26; 28; 30}.

Suy ra n thuộc {20; 22; 26; 28}.

Vậy n ∈ {20; 22; 26; 28}.