Anh Pi: Em hãy:

- Lấy tuổi của mình cộng với 1 rồi bình phương lên. Số nhận được gọi là kết quả thứ nhất.

- Lại lấy tuổi của mình trừ đi 1 rồi bình phương lên. Số nhận được gọi là kết quả thứ hai.

- Lấy kết quả thứ nhất trừ đi kết quả thứ hai và cho anh biết kết quả cuối cùng.

Anh sẽ đoán được tuổi của em.

Không biết anh Pi làm thế nào nhỉ? Học xong bài này em sẽ khám phá được bí mật đó.

Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội - Lào Cai) với vận tốc 60 km/h. Sau đó 25 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội lên Yên Bái (đi cùng đường với xe khách) với vận tốc 85 km/h. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.

a) Gọi D(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và K(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát cho đến khi xe du lịch đi được x giờ. Tìm D(x) và K(x).

b) Chứng tỏ rằng đa thức f(x) = K(x) - D(x) có nghiệm x = 1. Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm x = 1 của đa thức f(x).

Cho hai đa thức P = -5x⁴ + 3x³ + 7x² + x - 3 và Q = 5x⁴ - 4x³ - x² + 3x + 3.

a) Xác định bậc của mỗi đa thức P + Q và P - Q.

b) Tính giá trị của mỗi đa thức P + Q và P - Q tại x = 1; x = -1.

c) Đa thức nào trong hai đa thức P + Q và P - Q có nghiệm là x = 0?

Cho hai đa thức P = -5x⁴ + 3x³ + 7x² + x - 3 và Q = 5x⁴ - 4x³ - x² + 3x + 3.

a) Xác định bậc của mỗi đa thức P + Q và P - Q.

b) Tính giá trị của mỗi đa thức P + Q và P - Q tại x = 1; x = -1.

c) Đa thức nào trong hai đa thức P + Q và P - Q có nghiệm là x = 0?

Ngoài thang nhiệt độ Celsius (độ C), nhiều nước còn dùng thang nhiệt độ Fahrenheit, gọi là độ F để đo nhiệt độ trong dự báo thời tiết. Muốn tính xem x^oC tương ứng với bao nhiêu độ F, ta dùng công thức:

T(x) = 1,8x + 32.

Chẳng hạn, 0^oC tương ứng với T(0) = 32 (^oF).

a) Hỏi 0^oF tương ứng với bao nhiêu độ C?

b) Nhiệt độ vào một ngày mùa hè ở Hà Nội là 35^oC.

Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ F?

c) Nhiệt độ vào một ngày mùa đông ở New York (Mĩ) là 41^oF. Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ C?

Một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật được thiết kế với kích thước theo tỉ lệ:

Chiều cao : chiều rộng : chiều dài = 1 : 2 : 3.

Trong bể hiện còn 0,7 m³ nước. Gọi chiều cao của bể là x (mét).

Hãy viết đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể để bể đầy nước. Xác định bậc của đa thức đó.

Cho các đơn thức: 2x⁶; -5x³; -3x⁵; x³; 3/5x²; -1/2x²; 8; -3x. Gọi A là tổng của các đơn thức đã cho.

a) Hãy thu gọn tổng A và sắp xếp các hạng tử để được một đa thức.

b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và hệ số của x² của đa thức thu được.

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 65 m, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là x mét, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong Hình 7.1 Tìm đa thức (biến x):

a) Biểu thị diện tích của bể bơi.

b) Biểu thị diện tích mảnh đất.

c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.

Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau. Giả sử Nam cần mua x cuốn sách khoa học, x + 8 cuốn sách tham khảo và x + 5 cuốn truyện tranh.

a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.

b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.

Cho các đa thức A = 3x⁴ - 2x³ - x + 1; B = -2x³ + 4x² + 5x và C = -3x⁴ + 2x² + 5.

Tính A + B + C; A - B + C và A - B - C.

Cho hai đa thức A = 6x⁴ - 4x³ + x - 1/3 và B = -3x⁴ - 2x³ - 5x² + x + 2/3

Tính A + B và A - B.

Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ: (-x³ - 5x + 2) - (3x + 8).

Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc:

x² - 3x + 2 và 4x³ - x² + x - 1.

Cho đa thức A = x⁴ - 3x² - 2x + 1. Tìm các đa thức B và C sao cho:

A + B = 2x⁵ + 5x³ - 2;

A - C = x³.

Cho hai đa thức:

M = 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5.

Hãy tính hiệu M - N (trình bày theo hai cách).

Cho hai đa thức P = x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x và Q = -x³ + 4x² - 2x + 1.

Đối với phép trừ: P - Q = (x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x) - (-x³ + 4x² - 2x + 1), ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.

Tìm hiệu P - Q bằng cách đặt tính trừ: đặt đa thức Q dưới đa thức P sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột.

Cho hai đa thức P = x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x và Q = -x³ + 4x² - 2x + 1.

Đối với phép trừ: P - Q = (x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x) - (-x³ + 4x² - 2x + 1), ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.

Tìm hiệu P - Q bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau:

A = 2x³ - 5x² + x - 7;

B = x² - 2x + 6;

C = -x³ + 4x² - 1.

Cho hai đa thức M = 0,5x⁴ - 4x³ + 2x - 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5.

Hãy tính tổng M + N (trình bày theo hai cách).

Tìm tổng của hai đa thức: x³ - 5x + 2 và x³ - x² + 6x - 4.

Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).

a) Hãy tìm đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Kiểm tra xem:

a) x = -1/8 có phải là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + 1/2 không?

b) Trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức Q(x) = x² + x - 2?

Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Bậc của F(x) bằng 3.

- Hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng 2.

- Hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.

Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m³ nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m³ nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.

Hãy viết đa thức (biến x) biểu thị dung tích của bể (m³), biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m³ nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Cho hai đa thức:

P(x) = 5x³ + 2x⁴ - x² + 3x² - x³ - 2x⁴ - 4x³ và Q(x) = 3x - 4x³ + 8x² - 5x + 4x³ + 5.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Sử dụng kết quả câu a để tính P(1), P(0), Q(-1) và Q(0).

Cho hai đa thức:

A(x) = x³ + 3/2x - 7x⁴ + 1/2x - 4x² + 9 và B(x) = x⁵ - 3x² + 8x⁴ - 5x² - x⁵ + x - 7.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

a) Tính $\left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$.(-4x²). Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

b) Tính $\frac{1}{2}$x³ - $\frac{5}{2}$x³. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức H(x) = -5x² + 15x.

b) Tại sao x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

c) Tính giá trị của H(x) khi x = 1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

1. Tính giá trị của đa thức F(x) = 2x² - 3x - 2 tại x = -1; x = 0; x = 1; x = 2. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức F(x).

2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x² + x.

Xét đa thức G(x) = x² - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy ta có G(3) = 3² - 4 = 5.

Với giá trị nào của x thì G(x) có giá trị bằng 0.

Xét đa thức G(x) = x² - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy ta có G(3) = 3² - 4 = 5.

Tính các giá trị G(-2); G(-1); G(0); G(1); G(2).

Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) 5x² - 2x + 1 - 3x⁴;                 b) 1,5x² - 3,4x⁴ + 0,5x² - 1.

Một số khác 0 cũng là một đa thức. Vậy bậc của nó bằng bao nhiêu?

Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P. Trong P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P. Trong P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P. Trong P, bậc của hạng tử 5x² là 2 (số mũ của x²). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến:

a) A = 3x - 4x⁴ + x³;                 

b) B = -2x³ - 5x² + 2x³ + 4x + x² - 5;

c) C = x⁵ - $\frac{1}{2}$x³ + $\frac{3}{4}$x - x⁵ + 6x² - 2.

Thu gọn đa thức P = 2x³ - 5x² + 4x³ + 4x + 9 + x.

Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức B = 2x⁴ - 3x² + x + 1.

Mỗi số thực có phải là một đa thức không? Tại sao?