Cho hàm số f(x) = $2{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ . Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Cho hàm số P(x) = ax² + bx + 3 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P'(1) = 0 và P''(1) = –2.

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

b) y = tan2x.

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln(x + 1);

b) y = tan2x.

Cho hàm số f(x) = x²e^x. Tính f''(0).

Một chuyển động thẳng có phương trình $s=2t^2+\frac{1}{2}{t}^4$  (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chuyển động có phương trình s = 4cos2πt.

a) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t.

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

b) y = ln(2x + 3).

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = xe^2x;

b) Tính đạo hàm của hàm số y = g(x).

a) Gọi g(x) là đạo hàm của hàm số $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$  . Tìm g(x).

Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình sau:

x(t) = $4\cos \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$  ,

ở đó x tính bằng centimet và thời gian t tính bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Biết y là hàm số của x thỏa mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Cho hàm số $f\left(x\right)=4{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 8 với mọi x Î ℝ. Tìm x để f'(x) = 8.

Cho hàm số $f\left(x\right)=co{s}^{2}x+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$ . Tính đạo hàm f'(x) và chứng tỏ f'(x) = 0 với mọi x Î ℝ.

Tính đạo hàm của hàm số $y=3\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-2\cot \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$  và $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x^2$ . Tính f'(0) – g'(1).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-x+1}{x+2}$               

b) $y=\frac{1-x^2}{x^2+1}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x + 1)²(x² – 1);           

b) $y={\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^3$ .

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.

Cho hàm số f(x) = $2{\sin }^2\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = $2^{3x-x^2}$ ;

b) y = log₃(4x + 1).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y = sin3x – 3sinx;

d) y = tanx + cotx.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xsin²x;

b) y = cos²x + sin2x;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y=\frac{2x}{x^2+1}$  .

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = x² – 4  + 3.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2x + 1;

Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H⁺], ở đó [H⁺] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H⁺].

Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(2x – 1).

b) Sử dụng đẳng thức  ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$(0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y = 3^{sin x} .

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=e^{x^2-x}$ ;

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{h}=1$  và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1), tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

c) Đặt t = e^x – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$  .