Phương trình chuyển động của vật là $h=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v₀ – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm  $t_1=\frac{v_0}{g}$, tại đó vận tốc bằng v(t₁) = v_0­ – gt₁ = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t₂ mà h(t₂) = 0 nên ta có:

$v_0{t}_2-\frac{1}{2}g{t}_2^2=0$ ⇔ t₂ = 0 (Loại) hoặc  $t_2=\frac{2v_0}{g}$.

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t₂) = v₀ – gt₂ = –v₀ = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t₂) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

a)

Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

 $y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-{x_0}^3}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2\right)=3{x_0}^2$.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.

b)

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*) là y' = nx^{n – 1}.

Đặt f(x) = $y=\sqrt{x}$  .

Với x₀ > 0, ta có

$y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

a)

Đặt f(x) = y = x³ + x²_­.

Với x₀ bất kì, ta có:

$y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3+x^2-{x_0}^3-{x_0}^2}{x-x_0}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x^3-{x_0}^3\right)+\left(x^2-{x_0}^2\right)}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2+x+x_0\right)}{x-x_0}\end{array}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2+x+x_0\right)=3{x_0}^2+2x_0$.

Vậy đạo hàm của hàm số y = x³ + x² là hàm số y' = 3x² + 2x.

b)

Ta có (x³)' = 3x² ; (x²)' = 2x, do đó (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x.

a) 

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:$y^{\text{'}}={\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}.(x+1)-\sqrt{x}.(x+1{)}^{\text{'}}}{{(x+1)}^2}$

$=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right)-\sqrt{x}.1}{{(x+1)}^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right)-\frac{2x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}$

$=\frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}=\frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}{\left(x+1\right)}^2}$.

b)

$y^{\text{'}}={\left[\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x^2+2\right)\right]}^{\text{'}}$

$={\left(\sqrt{x}+1\right)}^{\text{'}}.\left(x^2+2\right)+\left(\sqrt{x}+1\right){\left(x^2+2\right)}^{\text{'}}$

$=\left[{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}+1^{\text{'}}\right].\left(x^2+2\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left[{\left(x^2\right)}^{\text{'}}+2^{\text{'}}\right]$

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\left(x^2+2\right)+\left(\sqrt{x}+1\right).2x=\frac{x^2+2}{2\sqrt{x}}+2x\left(\sqrt{x}+1\right)$

a)

Công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x là:

y = (u(x))² = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.

b)

Ta có y'(x) = (x⁴ + 2x² + 1)' = 4x³ + 4x.

Lại có u'(x) = (x² + 1)' = 2x ; y'(u) = (u²)' = 2u.

Do đó, y' (u) . u' (x) = 2u . 2x = 4x(x² + 1) = 4x³ + 4x.

Vậy y'(x) = y' (u) . u' (x).

a)

y' = [(2x – 3)¹⁰]' = 10.(2x – 3)⁹ . (2x – 3)' = 10.(2x – 3)⁹ . 2 = 20(2x – 3)⁹.

b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:

y' =  ${\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.{\left(1-x^2\right)}^{\text{'}}=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$.

a) Với h ≠ 0, ta có:

sin(x + h) – sin x = $2cos\frac{x+h+x}{2}.\sin \frac{x+h-x}{2}$   = $2cos\frac{2x+h}{2}.\sin \frac{h}{2}$.

b)

Với x₀ bất kỳ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2cos\frac{x+x_0}{2}.\sin \frac{x-x_0}{2}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}.\underset{x\to x_0}{\lim }cos\frac{x+x_0}{2}=\cos x_0$.

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y' = cos x.

Ta có

y' = (cos x)' =  ${\left[\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right]}^{\text{'}}={\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}^{\text{'}}.\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin x$.

Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y' = – sin x.

a) Ta có

$y^{\text{'}}=(\tan x{)}^{\text{'}}={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{(\sin x{)}^{\text{'}}.\cos x-\sin x.(\cos x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

a) Ta có

$y^{\text{'}}=(\tan x{)}^{\text{'}}={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{(\sin x{)}^{\text{'}}.\cos x-\sin x.(\cos x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

b) Ta có

$y^{\text{'}}=(\cot x{)}^{\text{'}}={\left(\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$.

Ta có:

$y^{\text{'}}=2{\left({\tan }^{2}x\right)}^{\text{'}}+3{\left[\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)\right]}^{\text{'}}$

$=2.2\tan x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}+3.\frac{-(-2)}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$

$=\frac{4\tan x}{{\cos }^{2}x}+\frac{6}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$.

Ta có:

v(t) = s'(t) = $4{\left[\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)\right]}^{\text{'}}=-4.2\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$  .

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

$v\left(5\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi .5-\frac{\pi }{8}\right)\approx 9,6$ (m/s).

a)

Ta có: t = $\frac{1}{x}$  , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$.

ln y $=\ln {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\ln \left(1+x\right)$  .

Khi đó, $\underset{x\to 0}{\lim }\ln y=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$  .

c)

t = e^x – 1 ⇔ e^x = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln \left(t+1\right)}=1$ .

a)

Với x bất kì và h = x – x₀, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^h-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{e}^{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=e^{x_0}$.

Vậy hàm số y = e^x có đạo hàm là hàm số y' = e^x.

b)

Ta có: a^x = e^{x.ln a} nên (a^x)' = (e^{x.ln a})' = (x.ln a)' . e^{x.ln a} = e^{x.ln a}.ln a = a^x.ln a.

a)

$y^{\text{'}}={\left(e^{x^2-x}\right)}^{\text{'}}=e^{x^2-x}.{\left(x^2-x\right)}^{\text{'}}=\left(2x-1\right)e^{x^2-x}$.

b)

y' = (3^{sin x})' = 3^sin x . (sin x)' . ln3 = 3^sin x.cos x. ln3.

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x_0+h)-\ln x_0}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}.x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}}=\frac{1}{x_0}$.

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = $\frac{1}{x}$ .

b)

Ta có ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$  nên ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$ .

Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > $\frac{1}{2}$ . Hàm số đã cho xác định trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$  .

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}}{\left(2x-1\right)\ln 2}=\frac{2}{\left(2x-1\right)\ln 2}$ .

Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H⁺] là đạo hàm của pH. Ta có:

pH = –log[H⁺] ⇒ (pH)' = (–log[H⁺])' = $=-\frac{{\left(\left[H^{+}\right]\right)}^{\text{'}}}{\left[H^{+}\right].\ln 10}=\frac{-1}{\left[H^{+}\right].\ln 10}$ .

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H⁺] là $\frac{-1}{\left[H^{+}\right]\ln 10}$  .

a)

y' = (x³)' – 3.(x²)' + 2.(x)' + 1' = 3x²  – 6x + 2.

b) Với x > 0, ta có:

y' = (x²)' – 4. ' + 3' = 2x –  $\frac{2}{\sqrt{x}}$.

a) Với x ≠ – 2, ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)}^{\text{'}}=\frac{(2x-1{)}^{\text{'}}.(x+2)-(2x-1).(x+2{)}^{\text{'}}}{{(x+2)}^2}$

$=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{{(x+2)}^2}=\frac{5}{{(x+2)}^2}$.

b) $y^{\text{'}}={\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{\left(2x{)}^{\text{'}}\right(x^2+1)-2x.(x^2+1{)}^{\text{'}}}{{(x^2+1)}^2}$

$=\frac{2(x^2+1)-2x.2x}{{(x^2+1)}^2}=\frac{-2x^2+2}{{(x^2+1)}^2}$.

a)

y' = (x)' . sin²x + x . (sin²x)' = sin²x + x . 2 . sinx . cosx = sin²x + xsin2x.

b)

y' = (cos²x)' + (sin2x)' = 2cosx.(–sinx) + 2cos2x

= –2cosx.sinx + 2cos2x = –sin2x + 2cos2x.

c)

y' = (sin3x)' – (3sinx)' = 3cos3x – 3cosx.

d) Với , ta có:

y' = (tanx)' + (cotx)' = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  .

a) $y^{\text{'}}={\left(2^{3x-x^2}\right)}^{\text{'}}={\left(3x-x^2\right)}^{\text{'}}{.2}^{3x-x^2}.\ln 2=\left(3-2x\right){.2}^{3x-x^2}.\ln 2$ .

b) Với $x>-\frac{1}{4}$ , ta có:

$y^{\text{'}}={\log }_3\left(4x+1\right)=\frac{\left(4x+1\right)\text{'}}{\left(4x+1\right)\ln 3}=\frac{4}{\left(4x+1\right)\ln 3}$.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=4\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).{\left[\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=\mathrm{4.3.}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$

$=12\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=6\sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)$

Vì:

$-1\le \sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)\le 1\iff -6\le 6\sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)\le 6$

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.

a) Vận tốc tại thời điểm t = 5 giây là:

v(5) = –9,8 . 5 = –49 (m/s).

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s là 49 m/s.

b)

Khi vật chạm đất h(t) = 0, tức là 100 – 4,9t² = 0 $\Rightarrow t=\frac{10\sqrt{10}}{7}$ .

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là $v\left(\frac{10\sqrt{10}}{7}\right)=-9,8.\frac{10\sqrt{10}}{7}=-14\sqrt{10}$  (m/s).

Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Vận tốc của hạt sau t giây là:

v(t) = s'(t) = 0,5.(4πt)'.cos(4πt) = 2πcos(4πt) (m/s).

Vì –1 ≤ cos(4πt) ≤ 1 ⇔ –2π ≤ 2πcos(4πt) ≤ 2π ⇔ –2π ≤ v(t) ≤ 2π với mọi t.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 2π cm/s.