Vận tốc của vật tại thời điểm t là

v(t) = x'(t) = $-{\left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}.4\sin \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)=-8\pi \sin \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$ .

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

a(t) = v'(t) = $-8\pi {\left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}.\cos \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)=-16{\pi }^2\cos \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$ .

Tại thời điểm t = 5, gia tốc của vật là:

a(5) = $-16{\pi }^2\cos \left(2\pi .5+\frac{\pi }{3}\right)\approx -79$  (cm/s²).

a) Ta có

$g\left(x\right)=y^{\text{'}}={\left[\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)\right]}^{\text{'}}=2.\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$.

b) Ta có

$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left[2\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)\right]}^{\text{'}}=-4\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$.

a) Ta có y = xe^2x

Suy ra: y' = x' . e^2x + x . (e^2x)' = e^2x + 2xe^2x.

Do đó, y'' = 2e^2x + 2(e^2x + 2xe^2x) = 2e^2x + 2e^2x + 4xe^2x = 4e^2x + 4xe^2x.

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là y'' = 4e^2x + 4xe^2x.

b) Ta có y = ln(2x + 3).

y' = $\frac{(2x+3{)}^{\text{'}}}{2x+3}=\frac{2}{2x+3}$ .

y'' = ${\left(\frac{2}{2x+3}\right)}^{\text{'}}=\frac{-2.2}{{\left(2x+3\right)}^2}=\frac{-4}{{\left(2x+3\right)}^2}$.

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=\frac{-4}{{\left(2x+3\right)}^2}$ .

a)

Ta có: v(t) = s'(t) = –4.2πsin2πt = –8πsin2πt.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là –8πsin2πt.

b) Gia tốc tức thời tại thời điểm t là

a(t) = v'(t) = (–8πsin2πt)' = –8π.2πcos2πt = –16π²cos2πt.

Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = 4t + 2t³.

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = 4 + 6t².

Tại thời điểm t = 4 giây, gia tốc của vật là:

a(4) = 4 + 6 . 4² = 100 (m/s²).

Với f(x) = x²e^x, ta có:

f'(x) = (x²)' . e^x + x² . (e^x)' = 2x.e^x + x².e^x.

f''(x) = (2e^x + 2x.e^x) + (2x.e^x + x².e^x) = 4xe^x + 2e^x + x²e^x.

Vậy f''(0) = 4 . 0 . e⁰ + 2 . e⁰ + 0² . e⁰ = 2.

a) Ta có $y^{\text{'}}={\left(\ln \left(x+1\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{x+1}=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow {y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x+1\right)}^2}$

b)

Ta có $y^{\text{'}}={\left(\tan 2x\right)}^{\text{'}}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$

$\Rightarrow {y^{\text{'}}}^{\text{'}}=\frac{-2{\left({\cos }^{2}2x\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^{4}2x}=\frac{-2.2\cos 2x.(\cos 2x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{4}2x}$

$=\frac{4.2\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}=\frac{8\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}$.

Ta có:

P'(x) = 2ax + b  

P''(x) = 2a

Do P'(1) = 0 và P''(1) = –2 nên ta có

$\left\{\begin{array}{l}{P}^{\text{'}}\left(1\right)=2a+b=0\\ {P^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)=2a=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}\right.$.

Vậy a = – 1 và b = 2.

Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=2.2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right).{\left[\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=4\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$.

Khi đó ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=2.{\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}^{\text{'}}.\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=4\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ .

Vì $\left|\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)\right|\le 1$  với mọi x nên $4\left|\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)\right|\le 4$  với mọi x.

Vậy |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Vận tốc tại thời điểm t là:

v(t) = s'(t) = 0,5.2πcos $\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$  = πcos $\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$ .

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

a(t) = v'(t) = –π.2πsin  $\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$= –2π²sin $\left(2\pi t+\frac{\pi }{5}\right)$ .

Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là:

a(5) = –2π²sin $\left(2\pi .5+\frac{\pi }{5}\right)$  ≈ –11,6 (cm/s²).