Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy hai điểm B và C thuộc đường thẳng d (Hình 18).

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có đi qua đường thẳng d hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d?

Hình 9 là hình ảnh xà ngang trong môn Nhảy cao.

Quan sát Hình 9 và cho biết ta cần bao nhiêu điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang đó.

Sân vận động Old Trafford (Hình 2) ở thành phố Manchester, có biệt danh là “Nhà hát của những giấc mơ”, với sức chứa 75 635 người, là sân vận động lớn thứ hai ở Vương quốc Anh.

Quan sát Hình 2 và cho biết mặt sân vận động thường được làm phẳng hay cong.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trên SO lấy điểm I sao cho SI = 2IO.

a) Xác định các giao điểm M, N lần lượt của SA, SD với mặt phẳng (IBC).

b*) Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC và MN đồng quy.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC.

a) Xác định giao điểm I của đường thẳng MP với mặt phẳng (SBD).

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC, CD.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng NP với mặt phẳng (SAB).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC), (SCD).

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE = 3EA, DF = 2FC.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BEF) với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (BCD).

b) Xác định giao điểm K của đường thẳng AD với mặt phẳng (BEF).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BEF) và (ABD).

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d và hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong (P), (Q). Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng a, b cắt nhau thì giao điểm của chúng thuộc đường thẳng d.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Một đồ vật trang trí có bốn mặt phân biệt là các tam giác (Hình 7). Vẽ hình biểu diễn của đồ vật đó.

Cho hình tứ diện ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (CDA) là đường thẳng:

A. AB.

B. BD.

C. CD.

D. AC.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SC. Trong các mặt phẳng sau, điểm M nằm trên mặt phẳng nào?

A. (ABCD).

B. (SAC).

C. (SAB).

D. (SAD).

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}\).

a) Tìm biểu thức xác định hàm số d’ = φ(d).

b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \varphi \left( d \right),\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ - }} \varphi \left( d \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{d \to f} \varphi \left( d \right)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\ - 3x + b\,\,\,khi\,x > 2\end{array} \right.\).

a) Với a = 0, b = 1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.

b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại x = 2?

c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}}\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}}\);

b) \(\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{3{n^3} + 6{n^2} - 2}}\);

c) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}}\);

d) \(\lim \left( {4 - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} \right)\);

e) \(\lim \frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}}\);

g) \(\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.

Một bể chứa 5 000 l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25 l/phút.

Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/l) là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{200 + t}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ne 2\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 2\end{array} \right.\).

Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ.

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Cho tam giác T₁ có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T₂ đồng dạng với tam giác T₁, tam giác T₃ đồng dạng với tam giác T₂, ..., tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\,\left( {k > 1} \right)\). Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.

Tính các giới hạn sau: