Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP?

Quan sát Hình 7 và cho biết giá đỡ của máy ảnh tiếp đất tại mấy điểm. Tại sao giá đỡ máy ảnh thường có ba chân?

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm đã cho.

Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một cây sào tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên hai cọc đỡ.

c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (Q).  

b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (P).

a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật.

Mặt bàn, mặt bảng cho ta hình ảnh của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh một phần của mặt phẳng.

Môn học Hình học phẳng tìm hiểu tính chất của các hình cùng thuộc một mặt phẳng. Môn học Hình học không gian tìm hiểu tính chất của các hình trong không gian, những hình này có thể chứa những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy phân loại các hình sau thành hai nhóm hình khác nhau.

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right),$  rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính S(α) theo $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ .

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ .

c) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right)$  và $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Chứng minh rằng phương trình x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.

Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x²; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(OM-MH\right).$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-3}$ .

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right).$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}& \text{ khi }x\ne -3\\ a& \text{ khi }x=-3.\end{array}\right.$

a) Tìm $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10 m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A₁ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A₂ của A₁B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A₃ của A₂B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$ ).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$ ).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3^n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^n}$ ). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Cho dãy số (u_n) thoả mãn $\lim n{u}_n=\frac{1}{2}.$  Tìm lim(3n – 4)u_n.

Tìm $\text{lim}\frac{6^n+4^n}{\left(2^n+1\right)\left(3^n+1\right)}$ .

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 2, lim(u_n – v_n) = 4. Tìm $\text{lim}\frac{3u_n-v_n}{u_n{v}_n+3}.$

Tìm các giới hạn sau:

Biết rằng phương trình x³ ‒ 2x ‒ 3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

A. (‒1; 0).

B. (0; 1).

C. (1; 2).

D. (2; 3).

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\text{tan}x& \text{khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0\le x\le \frac{\pi }{4}\\ k-\text{cot}x& \text{ khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} }\frac{\pi }{4}<x\le \frac{\pi }{2}\end{array}\right.$  liên tục trên đoạn  $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}& \text{ khi }x\ne 3\\ a& \text{ khi }x=3\end{array}\right.$  liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. $\frac{-1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. ‒2.

D. 3.

  $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}$bằng

A. +∞.

B. ‒∞.

C. ‒3 .

D. $\frac{7}{4}$

Biết rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}=3.$  Giá trị của a là

A. $\frac{3}{4}$

B. 6.

C. $\frac{3}{2}$

D. 3.

Biết rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{2,}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right)=4$ . Giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)-2g\left(x\right)}{f\left(x\right)+2g\left(x\right)}$ bằng

A. ‒1.

B. 0.

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{-1}{2}$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{\left|x-3\right|}.$  Đặt $a=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)$  và $b=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$  Giá trị của a ‒ 2b bằng

A. 0.

B. 9.

C. ‒3.

D. ‒9.

Biết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+a}{x-1}=b$  với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-2}{\sqrt{x+3}-2}$ bằng

A. 0.

B. +∞.

C. 2.

D. 8.

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{2x-4}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1.

D. $\frac{-1}{2}$

$\text{lim}\frac{4^n}{2\cdot 4^n+3^n}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 4, lim(v_n – 3) = 0.

lim[u_n(u_n – v_n)] bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

$\text{lim}\frac{2n+1}{\sqrt{9n^2+1}-n}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. 1.

C. $\frac{1}{4}$

D. 2.

$\text{lim}\frac{\sqrt{4n^2+4n+1}}{4n+1}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 1.

C. 2.

D. +∞.

$\text{lim}\frac{3n^2+2n}{2-n^2}$ bằng

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ .

Kí hiệu diện tích tam giác ABC là S(α) (phụ thuộc vào α). Xét tính liên tục của hàm số S(α) trên khoảng  $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ và tính các giới hạn $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right),\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + (y ‒ 1)² = 1. Với mỗi số thực m, gọi Q(m) là số giao điểm của đường thẳng d: y = m với đường tròn (C). Viết công thức xác định hàm số y = Q(m). Hàm số này không liên tục tại các điểm nào?

Chứng minh rằng phương trình:

a) x³ + 2x ‒ 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (‒1; 1).

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ khi }\left|x\right|<2\\ x\left(2-x\right)\text{\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }\left|x\right|\ge 2\end{array}\right..$

Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.