b) Giả sử hai tam giác SAD và SAB là các tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là đường phân giác trong của hai tam giác SAD và SAB. Chứng minh EF // (SBD).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.

a) Chứng minh (OMN) // (SBC).

c) Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến vừa tìm được ở câu b, từ đó chứng minh (SBF) // (KCD).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD // BC, AD = 2BC. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.

a) Chứng minh: (BEF) // (SCD) và CI // (BEF).

Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về mặt phẳng song song trong thực tế.

b) Cho biết A’A₁ = 6AA₁ và AA’ = 70 cm. Tính CC₁ và C₁C’.

Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A’B’C’D’E’F’, Bình gắn hai thanh tre A₁D₁, F₁C₁ song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại O₁ (Hình 19).

a) Xác định giao tuyến của mp(A₁D₁, F₁C₁) với các mặt bên của lăng trụ.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C. Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

b) Chứng minh (DEF) // (MNN’M’).

Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.

a) Chứng minh (CBE) // (ADF).

b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm thuộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.

a) Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượT đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:

AA’ + CC’ = BB’ + DD’.

Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’và một mặt phẳng (α) cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến MN, NP, PQ, QR, RS, SM như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác MNPQRS song song với nhau.

Hình dạng của các đồ vật như hộp phấn, lồng đèn, hộp quà, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau?

Cho hình chóp S.ABC có SA = 9, SB = 12, SC = 15. Trên cạnh SA lấy điểm M, N sao cho SM = 4, MN = 3, NA = 2. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC), lần lượt đi qua M, N, cắt SB theo thứ tự tại M’, N’ và cắt SC theo thứ tự tại M”, N”. Tính độ dài các đoạn thẳng SM’, M’N’, M”N”, N”C.

c) Từ đó, nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số  $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}},\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}},\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$.

b) Trong tam giác AA’C’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa  $\frac{A{B}_1}{B_{1}C\text{'}}$ và  $\frac{A\text{'}B\text{'}}{B\text{'}C\text{'}}$?

Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt cắt hai đường thẳng a và a’ tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B₁ là giao điểm của AC’ với (Q) (Hình 12).

a) Trong tam giác ACC’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa  $\frac{AB}{BC}$ và  $\frac{A{B}_1}{B_{1}C\text{'}}$?

Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng (P), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi (P) với các bề mặt của các lớp bánh. Giải thích.

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo, tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và cắt đoạn thằng AC. Chứng minh các giao tuyến của (α) với hình chóp tạo thành một tam giác đều.

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b. Xét vị trí tương đối của a và b.

a) Cho điểm A ở ngoài mặt phẳng (Q). Trong (Q) vẽ hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’. Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng a và b đi qua A và song song với (Q)?

b) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa mp(a, b) và (Q)?

Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD).

Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q). Giả sử (P) và (Q) có điểm chung M thì (P) cắt (Q) theo giao tuyến c (Hình 5).

a) Gải thích tại sao đường thẳng c phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng a, b. Điều này có trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của (P) và (Q).

Tìm một số mặt phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4.

c) Không có bất kì điểm chung nào.

b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung.

Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vé lại với các đỉnh là A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng:

a) Có ba điểm chung không thẳng hàng.

Bề mặt trên của mỗi bậc thang này được đặt như thế nào so với mặt đất?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:

a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB song song với (MNP);

c) SC song song với (MNP).

d) Gọi G₁ và G₂ theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh G₁G₂ song song với (SAD).

a) NG // (SCD);

b) MG // (SCD).

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) là mặt trước của tòa nhà (Hình 19).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD, (P) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD.

b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?