Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) được tính bởi công thức $L=10\log \frac{I}{I_0}$ , trong đó I là cường độ âm tính theo W/m² và I₀ = 10⁻¹² W/m² là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.

a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là 10⁻⁷ W/m² .

b) Sau 2 500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1 600 năm. Giả sử khối lượng m (tính bằng gam) còn lại sau t năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức:

$m=25\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$.

a) Khối lượng ban đầu (khi t = 0) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:

c) liên tục.

(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là 6%. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:

a) hằng quý;

b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính?

(Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị).

Nếu một ô kính ngăn khoảng 3% ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng p truyền qua n ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau:

p (n) = 100 × (0,97)ⁿ.

a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?

c) (cosh x)² – (sinh x)² = 1 với mọi x.

b) cosh x là hàm số chẵn;

Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

$\text{sinhx =}\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right);\cosh x=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$.

Chứng minh rằng:

a) sinh x là hàm số lẻ;

Cho hàm số lôgarit f(x) = log_a x (0 < a ≠ 1). Chứng minh rằng:  b) f(x^a) = af(x).

Cho hàm số lôgarit f(x) = log_a x (0 < a ≠ 1). Chứng minh rằng:

Tìm tập xác định của các hàm số sau: b) $y={\log }_{\frac{1}{2}}\left|x-1\right|$ .

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Cho hàm số mũ f(x) = a^x (a > 0). Chứng minh rằng:

c) $f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)$  .    

Cho hàm số mũ f(x) = a^x (a > 0). Chứng minh rằng:

b) $f\left(-x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}$  ;

Cho hàm số mũ f(x) = a^x (a > 0). Chứng minh rằng:

a) $\frac{f\left(x+1\right)}{f\left(x\right)}=a$ ;

Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau: b) $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$ .

Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau:

Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau: b) $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ .        

Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau:

d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100.

b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là 0,17%?

Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2mg/ml, nghĩa là có 0,02 g cồn trong 100 ml máu. Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC 0,02% là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hóa bằng một phương trình có dạng

R = e^kx,

trong đó x (%) là nồng độ cồn trong máu và k là một hằng số.

a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng 0,02% là 1,4. Tìm hằng số k trong phương trình.

Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Khi gửi tiết kiệm P (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là r (r cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền A (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau t kì gửi là A = P(1 + r)^t (đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.

Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương N viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức [log N] + 1, ở đó [log N] là phần nguyên của số thực dương logN. Tìm số các chữ số của 2^{2 023} khi viết trong hệ thập phân.

So sánh các số sau:

a) log₃ 4 và ${\log }_4\frac{1}{3}$  ;     b)  $2^{{\log }_{6}3}$ và $3^{{\log }_6\frac{1}{2}}$ .

Tìm log₄₉ 32, biết log₂ 14 = a.

Đặt a = log₃ 5, b = log₄ 5. Hãy biểu diễn log₁₅ 10 theo a và b.

Biết log₂3 » 1,585. Hãy tính:

Chứng minh rằng:   

b) ln (1 + e^2x) = 2x + ln (1 + e^−2x).                

Chứng minh rằng:

Tính:

c) log₅1 250 − log₅10;       d) $4^{{\log }_{2}3}$ .      

Tính:

b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).

(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là , trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và t là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008).

a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hỏa là 687 ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là bao nhiêu?