Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 71). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và từ B đến C, người ta làm như sau (Hình 70):

- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;

- Đo khoảng cách AB được 1 200 m.

Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Em hãy cho biết số đo góc xOy ở Hình 69 bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²,

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°.

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, $\widehat{BAC}=120°$ .  Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;

c) Diện tích của tam giác;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$  với M là trung điểm của BC.

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{BAC}=60°$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$ .

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ .

b) Biểu diễn $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD}$  theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ .

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$ ;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$ .

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ;

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$ .

Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$  trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{3,}\left|\overrightarrow{b}\right|=\mathrm{4,}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$ ;

b) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{5,}\left|\overrightarrow{b}\right|=\mathrm{6,}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$ ;

c)  $\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{2,}\left|\overrightarrow{b}\right|=\mathrm{3,}$$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  cùng hướng;

d)$\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{2,}\left|\overrightarrow{b}\right|=\mathrm{3,}$ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  ngược hướng.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Nếu hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-4$  thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?

Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC².

Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}$ ;

b) $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$ .

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=30°$ , AB = 3 cm. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ .

Trong vật lí, nếu có một lực $\overrightarrow{F}$  tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực $\overrightarrow{F}$  được tính theo công thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|.\cos \phi$  trong đó $\left|\overrightarrow{F}\right|$  gọi là cường độ của lực $\overrightarrow{F}$  tính bằng Newton (N),  $\left|\overrightarrow{OM}\right|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$  tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OM}$  và $\overrightarrow{F}$ , còn công A tính bằng Jun (J).

Trong toán học, giá trị của biểu thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|.\cos \phi$  (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?

Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$  theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$ ;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$  theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$;

b) $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$ .

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AD}$ ,

b) $\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{DC}$ .

Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$  có cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$  cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  khác $\overrightarrow{0}$  sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$  với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$  .

Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ .

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: $\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AM};\overrightarrow{GN}=b\overrightarrow{GB}$ .

Quan sát vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ , nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ $2\overrightarrow{AB}$  với $\overrightarrow{AB}$ .

Gọi B là trung điểm của AC.

Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$ .

Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu.

Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$  là như thế nào?

Cho ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$  và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$  cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$  đều là 120 N và $\widehat{AOB}=120°$ . Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow{F_3}$ .

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$ ;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ ;

c)  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ với O là giao điểm của AC và BD.