Chuyên đề Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng lớp 10 (Chân trời sáng tạo) | Chuyên đề dạy thêm Toán 10

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 10 Chân trời sáng tạo bản word có lời giải chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận tài liệu.

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

BÀI 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Trục tọa độ

- Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm $O$ gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}.$

- Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ.

- Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.

- Ta kí hiệu trục đó là $\left(O;\overrightarrow{i}\right).$

Cho $M$ là một điểm tùy ý trên trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right)$. Khi đó có duy nhất một số $k$ sao cho $\overrightarrow{OM}=x_0\overrightarrow{i}.$

Ta gọi số $x_0$ đó là tọa độ của điểm $M$ đối với trục đã cho.

Cho hai điểm $A$ và $B$ trên trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right).$ Khi đó có duy nhất số $a$ sao cho $\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{i}.$ Ta gọi số $a$ là độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow{AB}$ đối với trục đã cho và kí hiệu $a=\overline{AB}.$

Nhận xét.

- Nếu $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{i}$ thì $\overline{AB}=AB,$ còn nếu $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{i}$ thì $\overline{AB}=-AB$

- Nếu hai điểm $A$ và $B$ trên trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right).$ có tọa độ lần lượt là $a$ và $b$ thì $\overline{AB}=b-a.$

Hệ tọa độ

Định nghĩa. Hệ trục tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ gồm hai trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right)$ và $\left(O;\overrightarrow{j}\right)$ vuông góc với nhau.

Điểm gốc $O$ chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right)$ được gọi là trục hoành và kí hiệu là $Ox$ trục $\left(O;\overrightarrow{j}\right)$ được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ là các vectơ đơn vị trên $Ox$ và $Oy$ và $\left(\overrightarrow{i}\right)=\left(\overrightarrow{j}\right)=1.$ Hệ trục tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ còn được kí hiệu là $Oxy$

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ $Oxy$ còn được gọi là mặt phẳng tọa độ $Oxy$

Hay gọi tắt là mặt phẳng $Oxy$

Tọa độ vecto

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho một vectơ $\overrightarrow{u}$ tùy ý. Vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ và gọi $A_1,A_2$ lần lượt là hình chiếu của vuông góc của $A$ lên $Ox$ và $Oy.$ Ta có $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}$ và cặp số duy nhất $\left(x;y\right)$ để $\overrightarrow{O{A}_1}=x\overrightarrow{i},\overrightarrow{O{A}_2}=y\overrightarrow{j}.$ Như vậy $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}.$

Cặp số $\left(x;y\right)$ duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ đối với hệ tọa độ $Oxy$ và viết $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ hoặc $\overrightarrow{u}\left(x;y\right).$ Số thứ nhất $x$ gọi là hoành độ, số thứ hai $y$ gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}.$ Như vậy

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$ thì

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho một điểm $M$ tùy ý. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ đối với hệ trục $Oxy$ fđược gọi là tọa độ của điểm $M$ đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số $\left(x;y\right)$ là tọa độ của điểm $M$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}=\left(x;y\right).$ Khi đó ta viết $M=\left(x;y\right)$ hoặc $M\left(x;y\right).$ Số $x$ được gọi là hoành độ, còn số $y$ được gọi là tung độ của điểm $M.$ Hoành độ của điểm $M$còn được kí hiệu là $x_M,$ tung độ của điểm $M$ còn được kí hiệu là $y_M.$

và độ dài của

Chú ý rằng, nếu $M{M}_1\perp Ox,M{M}_2\perp Oy$ thì $x=\overline{O{M}_1},y=\overline{O{M}_2}.$

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTO

Cho $\overrightarrow{u}=(x;y);\overrightarrow{v}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$ và số thực $k$. Khi đó ta có :

1) $\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v}=\left(x\pm x^{\text{'}};y\pm y^{\text{'}}\right)$

2) $k.\overrightarrow{u}=(kx;ky)$

3) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x.x^{\text{'}}+y.y^{\text{'}}$

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTO

Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$ thì $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng $AB$ có $A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right).$Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm $I\left(x_I;y_I\right)$ của đoạn thẳng $AB$ là

Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác $ABC$ có $A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right),C\left(x_C;y_C\right).$ Khi đó tọa độ của trọng tâm

$G\left(x_G;y_G\right)$ của tam giác $ABC$ được tính theo công thức

Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right),\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ và hai điểm $A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right).$ Ta có:

1) $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$

2) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương $\iff a_1{b}_1-a_2{b}_2=0$

3) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

4) $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

5) $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$ ($\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ đều khác $\overrightarrow{0}$

Câu 1. Trên trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right)$ cho các điểm $A,B,C$ lần lượt có tọa độ $1;-2;3$

Tính độ dài đại số của các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}$. Từ đó suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}$ ngược hướng?

Lời giải

Ta có $\overline{AB}=-2-1=-3$, $\overline{BC}=3-\left(-2\right)=5$. Do đó vectơ $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{i}$ và vectơ $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{i}$.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i},\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{j};,=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{m}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$

b) Phân tích vectơ $\overrightarrow{c}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Lời giải

a) Ta có $\overrightarrow{a}=\left(2;0\right),\overrightarrow{b}=\left(0;-3\right),\overrightarrow{c}=\left(3;-4\right)$

Khi đó $3\overrightarrow{a}=\left(6;0\right),-2\overrightarrow{b}=\left(0;6\right)$ nên $\overrightarrow{m}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=\left(6+0;0+6\right)=\left(6;6\right)$

b) Ta có hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

Theo yêu cầu của đề bài ta cần tìm bộ số $x,y$ thỏa mãn $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$

Vậy ta viết được $\overrightarrow{c}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+\frac{4}{3}\overrightarrow{b}$

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left(2;1\right),B\left(-1;-2\right),C\left(-3;2\right)$

a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AC$

b) Chứng minh ba điểm $A,B,C$ tạo thành một tam giác.

c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$.

Lời giải

a) Gọi $M$ là trung điểm $AC$ thì $M\left(\frac{2-3}{2};\frac{1+2}{2}\right)$ hay $M\left(\frac{-1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

b) Tính được $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-5;1\right)$ dẫn đến hai vectơ đó không cùng phương. Nói cách khác ba điểm $A,B,C$ tạo thành một tam giác.

c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $G\left(\frac{2-1-3}{3};\frac{1-2+2}{3}\right)$ hay $G\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left(2;1\right),B\left(-1;-2\right),C\left(-3;2\right)$

a) Tìm tọa độ điểm $E$ sao cho $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $EB$

b) Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải

Ta thấy $A,B,C,D$ không thẳng hàng. Vậy $D\left(0;5\right)$ là đáp án bài toán.

Câu 5. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho các điểm $A\left(1;3\right),B\left(4;0\right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa $3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$?

Lời giải

Giả sử $M\left(x_M;y_M\right)$ suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(x_M-1;y_M-3\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(3;-3\right)$.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left(3;4\right),C\left(8;1\right)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $N$ là giao điểm của $BD$ và $AM$. Xác định các đỉnh còn lại của hình bình hành $ABCD$, biết $N\left(\frac{13}{3};2\right)$.

Lời giải

Do $I$ là tâm của hình bình hành $ABCD$, ta có $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$ nên $I\left(\frac{11}{2};\frac{5}{2}\right)$.

Xét tam giác $ABC$ thì $BI$, $AM$ là hai đường trung tuyến nên $N$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Vậy $B\left(2;1\right),D\left(9;4\right)$

Câu 1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $M\left(1;3\right),N\left(4;2\right)$.

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM,ON,MN$

b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.

Câu 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j},\overrightarrow{b}=\left(4;-1\right)$ và các điềm $M\left(-3;6\right),N\left(3;-3\right)$

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

b) Các điểm $O,M,N$ có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điềm $P\left(x;y\right)$ để $OMNP$ là một hình bình hành.

Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $A\left(1;3\right),B\left(2;4\right),C\left(-3;2\right)$.

a) Hãy chứng minh rằng $A,B,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$.

c) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tìm điểm $D\left(x;y\right)$ để $O\left(0;0\right)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.

Câu 4. Sự chuyển động của một tàu thủy được thề hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khời hành từ vị trí $A\left(1;2\right)$ chuyền động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bời vectơ $\overrightarrow{v}=\left(3;4\right)$. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành $1,5$ giờ.

Câu 5. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có toạ độ $\left(1;2\right)$. Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ TRÊN MẶT PHẲNG $Oxy$

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho điểm $M\left(x;y\right)$. Tìm tọa độ của các điểm $M_1$ đối xứng với $M$ qua trục hoành?

Câu 2: Trong không gian $Oxy$, cho hai điểm $A\left(1;2\right),B\left(-2;3\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$?

Câu 3: Vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-4;0\right)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$ như thế nào?

Câu 4: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ tâm I và có $A(1;3)$. Biết điểm $B$ thuộc trục $Ox$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{i}$. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AC}$?

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hình thoi $ABCD$ cạnh a và $\widehat{BAD}={60}^0$. Biết $A$ trùng với gốc tọa độ $O$; $C$thuộc trục Ox và $x_B\ge 0,y_B\ge 0$. Tìm tọa độ các đỉnh $B$ và $C$ của hình thoi $ABCD$

Câu 1:Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tọa độ $\overrightarrow{i}$là

A. $\overrightarrow{i}=\left(0;0\right)$

B. $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$

C. $\overrightarrow{i}=\left(1;0\right)$

D. $\overrightarrow{i}=\left(1;\text{1}\right)$

Câu 2:Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho $A=\left(5;-2\right),B=\left(10;8\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$

A. $\left(15;10\right)$

B. $\left(2;4\right)$

C. $\left(5;6\right)$

D. $\left(50;16\right)$

Câu 3:Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $A=\left(5;-2\right),B=\left(10;8\right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

................................

................................

................................

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Xem thêm chuyên đề dạy thêm Toán 10 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Vectơ

Chuyên đề Thống kê

Chuyên đề Bất phương trình bậc hai một ẩn

Chuyên đề Đại số tổ hợp

Chuyên đề Xác suất