Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 41 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng :

a) CE = CF

b) AC là tia phân giác của góc BAE

c) $C{H}^2=AE.BF$

Lời giải:

a)

Ta có:

$OC\perp d$ (tính chất tiếp tuyến)

$AE\perp d,BF\perp d$ (theo đề bài)

$\Rightarrow$ OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

$\Rightarrow$ CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều)

b)

Ta có: AE // OC

$\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{EAC}$ (hai góc so le trong bằng nhau) (1)

Ta có: OA = OC (= R)

Do đó, tam giác OAC cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{OAC}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{OAC}=\widehat{EAC}$

Do đó, AC là tia phân giác của góc OAE hay AE là tia phân giác của góc BAE

c)

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác ABC vuông tại C

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

CH vuông góc với AB tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$C{H}^2=HA.HB$ (3)

Xét tam giác ACH và tam giác ACE có:

$\widehat{AEC}=\widehat{AHC}={90}^o$

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Do đó, tam giác ACH bằng tam giác ACE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ AH = AE (4)

Xét tam giác BCH và tam giác BCF có:

$\widehat{BHC}=\widehat{BFC}={90}^o$

CH = CF (= CE)

BC chung

Do đó, tam giác BCH bằng tam giác BCF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ BH = BF (5)

Từ (3), (4), (5) ta suy ra $C{H}^2=AE.BF$ (đcpcm)

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 35 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2)...

Bài 36 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm...

Bài 37 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm...

Bài 38 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm...

Bài 39 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD...

Bài 40 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA...

Bài tập bổ sung:

Bài 4.1 trang 163 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn (O) đường kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng AB...

Bài 4.2 trang 163 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm), điểm A di chuyển trên đường tròn...

Bài 4.3 trang 163 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 15cm), dây AB = 24cm...