Cho hai số a, b không âm. Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

Bài 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

a) Nếu $\sqrt{a}$ <  $\sqrt{b}$ thì a < b

b) Nếu a < b thì $\sqrt{a}$ <  $\sqrt{b}$

(Bài này chứng minh định lí ở Bài 1, chương I, phần Đại số, sách giáo khoa Toán 9 tập một)

Lời giải:

a) Ta có: a ≥ 0; b ≥ 0 và $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$

⇒ $\sqrt{b}$ > 0

Do đó: $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b }$> 0 và $\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$ < 0

$\Rightarrow \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)<0$

⇒ ${\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2$ < 0

⇒ a – b < 0 ⇒ a < b.

b) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 và a < b nên b > 0

Ta có: $\sqrt{a}$ ≥ 0; $\sqrt{b}$ ≥ 0

suy ra: $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ > 0 (1)

Mặt khác: a – b

$$\begin{gathered} = {\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2 \\ = \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \end{gathered}$$

Vì a < b nên a – b < 0

Suy ra: $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)$< 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$ < 0 ⇒ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 5 SBT Toán 9 Tập 1: Tính căn bậc hai số học...

Bài 2 trang 5 SBT Toán 9 Tập 1: Dùng máy tính bỏ túi tìm x thỏa mãn...

Bài 3 trang 5 SBT Toán 9 Tập 1: Số nào có căn bậc hai là...

Bài 4 trang 5 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x không âm biết...

Bài 5 trang 6 SBT Toán 9 Tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)...

Bài 6 trang 6 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm những khẳng định đúng trong các khẳng định sau...

Bài 7 trang 6 SBT Toán 9 Tập 1: Trong các số...

Bài 8 trang 6 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 10 trang 6 SBT Toán 9 Tập 1: Cho số m dương. Chứng minh...

Bài 11 trang 6 SBT Toán 9 Tập 1: Cho số m dương. Chứng minh...

Bài 1.1 trang 7 SBT Toán 9 Tập 1: Giá trị của $\sqrt{0,16}$ là...