Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài

Giải Toán 9 Ôn tập chương 2

Video Giải Bài 42 trang 128 Toán lớp 9 tập 1

Bài 42 trang 128 Toán lớp 9 tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B$\in$ (O), C$\in$ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Lời giải:

a)

Ta có: MB, MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)

Ta lại có MA, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = MB = MC

 $\Rightarrow MA=\frac{1}{2}BC$

Xét tam giác ABC

Có MA là trung tuyến và $MA=\frac{1}{2}BC$

Do đó, tam giác ABC vuông tại A

$\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$

Xét tam giác MBA cân tại M  (do MA = MB )

Có EM là phân giác nên ME cũng là đường cao

$\Rightarrow ME\perp AB\Rightarrow \widehat{AEM}={90}^o$

Xét tam giác MCA cân tại M (do MA = MC)

Có FM là phân giác nên MF cũng là đường cao

$\Rightarrow MF\perp AC\Rightarrow \widehat{AFM}={90}^o$

Xét tứ giác AEMF có

$$\begin{gathered} \widehat{BAC}={90}^o \\ \widehat{AFM}={90}^o \\ \widehat{AEM}={90}^o \end{gathered}$$

Do đó, AEMF là hình chữ nhật

b)

Xét tam giác AOM vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có:

$AE\perp MO$ nên AE là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$M{A}^2=ME.MO \left(3\right)$

Xét tam giác AO’M vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có $AF\perp MO\text{'}$ nên AF là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$M{A}^2=MF.MO\text{'}$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ ME. MO = MF. MO’

c)

Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a)

Do đó, A, B, C nằm trên đường tròn tâm M bán kính MA

Mặt khác $OO\text{'}\perp MA$ tại A

Do đó, OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

d)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}OB\perp BC\\ O\text{'}C\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow OB//O\text{'}C$

Do đó, tứ giác OBCO’ là hình thang

Gọi I là trung điểm của OO’.

Ta có M là trung điểm của BC.

Do đó, MI  là đường trung bình của hình thang OBCO’

$\Rightarrow MI//OB//O\text{'}C$

Mà $\left\{\begin{array}{l}OB\perp BC\\ O\text{'}C\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow MI\perp BC$ (5)

Ta có AEMF là hình chữ nhật nên $\widehat{OMO\text{'}}=\widehat{EMF}={90}^o$

Do đó, tam giác OMO’ vuông tại M

Ta lại có MI là trung tuyến của tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó, O, M, O’ nằm trên đường tròn tâm I đường kính OO’ (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính OO’.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 126 Toán 9 Tập 1: Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác...

Câu hỏi 2 trang 126 Toán 9 Tập 1: Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác...

Câu hỏi 3 trang 126 Toán 9 Tập 1: Chỉ rõ tâm đối xứng của đường tròn...

Câu hỏi 4 trang 126 Toán 9 Tập 1: Chứng minh định lí: Trong các dây của một đường tròn...

Câu hỏi 5 trang 126 Toán 9 Tập 1: Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc...

Câu hỏi 6 trang 126 Toán 9 Tập 1: Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách...

Câu hỏi 7 trang 126 Toán 9 Tập 1: Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn...

Câu hỏi 8 trang 126 Toán 9 Tập 1: Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn...

Câu hỏi 9 trang 126 Toán 9 Tập 1: Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn...

Câu hỏi 10 trang 126 Toán 9 Tập 1: Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau...

Bài 41 trang 128 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) có đường kính BC...

Bài 43 trang 128 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r)...