Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’) (Hình 12) có tâm phân biệt và bán kính khác nhau

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 6: Phép vị tự

Bài 5 trang 36 Chuyên đề Toán 11: Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’) (Hình 12) có tâm phân biệt và bán kính khác nhau. Hãy chứng minh có hai phép vị tự biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’).

Lời giải:

Lấy điểm M bất kì thuộc (I; R).

Đường thẳng qua I’ và song song với IM cắt đường tròn (I’; R’) tại hai điểm và (giả sử M, nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ và M, nằm khác phía đối với đường thẳng II’).

Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng II’ tại điểm O₁ nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng cắt đường thẳng II’ tại điểm O₂ nằm trong đoạn II’.

Ta có biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’).

Suy ra R’ = |k|.R.

Do đó $\mathrm{|k|}=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Mà k > 0 (do I, I’ nằm cùng phía đối với O₁).

Suy ra $k=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Ta có ${\mathrm{V}}_{\left({\mathrm{O}}_2,{\mathrm{k}}^{\text{'}}\right)}$ biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’).

Chứng minh tương tự, ta được khi I, I’ nằm khác phía đối với O₂, ta có $k^{\text{'}}=-\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là $V_{\left(O_1,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(O_2,-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.