Tính:

a) $\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)$, biết $\sin a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi$;

b) $\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)$, biết $\cos a = - \frac{1}{3}$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.

Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:

a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi$;

b) sin a + cos a = $\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}$.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}$;

b) $B = \sin \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}$.

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

A = cos 75° cos 15°; B = $\sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Chứng minh rằng:

a) sin x – cos x = $\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$;

b) $\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\,\,\,$$\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

${x_1}\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm),

${x_2}\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a.

Cho tam giác ABC có $\widehat B = 75^\circ$; $\widehat C = 45^\circ$ và a = BC = 12 cm.

a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức

$S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}$.

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

B = $\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}$.

Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

a) Từ các công thức cộng cos(a + b) và cos(a – b), hãy tìm: cos a cos b; sin a sin b.

b) Từ các công thức cộng sin(a + b) và sin(a – b), hãy tìm: sin a cos b.

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f₁ và tần số cao f₂ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm y = sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Xây dựng công thức nhân đôi

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2a; cos 2a; tan 2a.