Tìm tập nghiệm của bất phương trình $2^{x-1}<8$ .

Cho khối nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng $120°$ . Một mặt phẳng (P) đi qua S, cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 4. Tính thể tích V của khối nón (N).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x-3y+z-2=0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^x+2x$  thỏa mãn F(0) = 2. Tìm F(x).

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

${\log }_3\left(5-\left|x\right|+2\left|y\right|\right)+2{\log }_2\left(5-\left|x\right|\right)+3\ge {\log }_3\left|y\right|+{\log }_2{\left(5-\left|x\right|+3\left|y\right|\right)}^2$?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{4}$ , $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$ . Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$  và song song với đường thẳng d. Tính khoảng cách từ điểm M(3;0;-1) đến mặt phẳng (P).

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2+az+b=0$  (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm $z_1,z_2$  thỏa mãn $z_1-3=\left(1-\left|z_2\right|\right)i$ ?

Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z+2w\right|=1$  và $\left|3z-w\right|=2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=7\left|z+w\right|+\left|z+9w\right|$ . Tính giá trị của $M^2-m^2$ .

Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3\left(x^2-2x\right)\ge 1$ .

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(x^2+x+1\right)=2+{\log }_{2}x$ .

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=-x^2+3x$  và y = 0 xung quanh trục Ox.

Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_3\left(3a\right)$  bằng

Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f’(x) như sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ${\log }_2\left(8x^2\right)+{\log }_3\left(3x^3\right)\ge {\log }_{2}x.{\log }_{3}x$ ?